Question

Исследование функции и построение графика : у=х3-4х2+4х

Answer 1

Пересечение с осью  абсцисс (ОХ):

x^3-4x^2+4x=0⇔x=0, x=2

Пересечение с осью ординат (ОУ):

х=0, f(x)=0

Поведение на бесконечности:

Lim x стрем к ∞ x^3-4x^2+4x=∞

Lim -x стрем к ∞ x^3-4x^2+4x=-∞

На чет/нечет:

f(x)=x^3-4x^2+4x

f(-x)=-x^3-4x^2-4x

Функция не чет и не нечет.

Производная функции:

3x^2-8x+4

Нули производной:

х=2/3, х=2

Функция возрастает на:

х∈(-∞, 2/3]U[2,∞)

Функция убывает на:

х∈[2/3, 2)

Мин. значение:

-∞

Макс. значение:

∞

 

График:

 

Answer 2

Для исследования функции и построения графика функции y = x^3 - 4x^2 + 4x, мы можем проанализировать следующие аспекты: область определения, симметрию, точки пересечения с осями координат, экстремумы и поведение функции при приближении к бесконечности.

1. Область определения: Функция y = x^3 - 4x^2 + 4x определена для любого действительного значения x. Таким образом, ее область определения является множеством всех действительных чисел: D = (-∞, +∞).

2. Симметрия: При анализе симметрии функции мы проверяем, является ли она четной (симметричной относительно оси ординат), нечетной (симметричной относительно начала координат) или не обладает никакой симметрией. Для функции y = x^3 - 4x^2 + 4x отметим, что ее степень нечетная (степень x равна 3), что означает отсутствие четной симметрии или симметрии относительно оси ординат.

3. Точки пересечения с осями координат: Для определения точек пересечения с осями координат, установим y равным нулю и решим уравнение: x^3 - 4x^2 + 4x = 0

   Факторизуем уравнение: x(x^2 - 4x + 4) = 0

   x(x - 2)^2 = 0

   Из этого следует, что x = 0 и x = 2. Таким образом, функция пересекает ось абсцисс (ось x) в точках (0, 0) и (2, 0).

4. Экстремумы: Чтобы найти экстремумы функции, возьмем ее производную и приравняем ее к нулю: y' = 3x^2 - 8x + 4

   3x^2 - 8x + 4 = 0

   Решив это квадратное уравнение, мы найдем x-координаты точек экстремума функции. Дискриминант D = (-8)^2 - 4 * 3 * 4 = 64 - 48 = 16 x = (-(-8) ± √16) / (2 * 3) = (8 ± 4) / 6

   Таким образом, получаем две x-координаты экстремумов: x1 = 2/3 и x2 = 2.

   Ч