Question

Найдите наибольшее значение функции у= 16tgx–16x+4π–5 на отрезке [ -π/4 ; π/4 ] объясните, пожалуйста

Answer 1

Для того, чтобы найти наибольшее значение функции, мы найдём точку максимума - это такая точка (на оси абсцисс) функции, до которой она ВОЗРАСТАЛА, а после - УБЫВАЛА. Эту точку можно найти следующим образом: в ней производная функции равна нулю (касательная к этой точке параллельна оси абсцисс), поэтому мы найдём производную данной функции и приравняем её к нулю, тем самым найдём точки экстремума (точки максимума и минимума), среди которых определим точку максимума следующим образом: найдём знаки производной—где она положительна—функция возрастает и наоборот. Подставим эту точку максимума в исходную функцию и найдём наибольшее ее значение.

P.S: здесь нужно проверять концевые точки заданного отрезка, в данном случае наибольшее значение достигается именно в них, а именно в п/4

Answer 2

Чтобы найти наибольшее значение функции у = 16tg(x) - 16x + 4π - 5 на отрезке [-π/4; π/4], мы должны определить, где функция достигает своего максимума на этом отрезке.

Для начала найдем производную функции у по переменной х. Производная функции tg(x) равна sec^2(x), где sec(x) обозначает секанс(x). Поэтому производная функции у равна:

у' = 16(sec^2(x)) - 16.

Затем приравняем у' к нулю и решим уравнение:

16(sec^2(x)) - 16 = 0.

Разделим обе части на 16:

sec^2(x) - 1 = 0.

sec^2(x) = 1.

sec(x) = ±1.

sec(x) равен 1, когда x равен 0 или кратно 2π. sec(x) равен -1, когда x равен π или кратно π.

Таким образом, точки, в которых производная равна нулю, находятся при x = 0, x = π и x = -π.

Теперь мы должны проверить значения функции у на концах отрезка [-π/4; π/4] и найденных точках экстремума, чтобы определить наибольшее значение.

Подставим x = -π/4, 0, π/4 в функцию у:

у(-π/4) = 16tg(-π/4) - 16(-π/4) + 4π - 5,

у(0) = 16tg(0) - 16(0) + 4π - 5,

у(π/4) = 16tg(π/4) - 16(π/4) + 4π - 5.

Вычислим эти значения:

у(-π/4) ≈ -24.3,

у(0) = 4π - 5,

у(π/4) ≈ 24.3.

Таким образом, наибольшее значение функции у на отрезке [-π/4; π/4] равно примерно 24.3. Оно достигается при x = π/4.