Question

Найдите все значения параметра a, при которых для любого положительного значения b уравнение имеет хотя бы одно решение, принадлежащее интервалу (0; 1/2).

Answer 1

y = 1 - x - x^2 = 1 + 1/4 - (x^2 + x + 1/4) = 5/4 - (x + 1/2)^2

0 < x < 1/2 ----> 1/4 < y < 1

t = log2(y) ----> -2 < t < 0

logy(2) = 1/log2(y) = 1/t

t = a/t + b, b > 0

t^2 - bt - a = 0

Обозначим b = 2c, c > 0

Любое значение b <---> любое значение c

t^2 - 2ct - a = 0

t^2 - 2ct + c^2 - c^2 - a = 0

(t - c)^2 = c^2 + a

t - c = +- √(c^2 + a) // c^2 + a >= 0 для любого c > 0 ---> a >= 0

t = c +- √(с^2 + a)

с + √(с^2 + a) >= 0 - не интересует, т.к. нужно найти a, при которых -2 < t < 0

Рассмотрим c - √(с^2 + a) < 0 при любом a > 0

Осталось найти a, при которых

c - √(с^2 + a) > -2

c + 2 > √(с^2 + a) > 0

(c + 2)^2 > c^2 + a

c^2 + 4c + 4 > c^2 + a

4c + 4 > a, при любом c, причем c > 0 следовательно

4с + 4 > 4 >= a

0 < a <= 4

Answer 2

Для данного уравнения, которое не указано в вопросе, предположим, что имеется в виду квадратное уравнение следующего вида:

ax^2 + bx + c = 0

Где a, b и c - коэффициенты уравнения.

Чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, дискриминант должен быть неположительным или нулевым:

D = b^2 - 4ac ≤ 0

Поскольку требуется, чтобы решение принадлежало интервалу (0; 1/2), это означает, что найденное решение x должно удовлетворять неравенству:

0 < x < 1/2

Рассмотрим случай, когда a > 0:

Если a > 0, то уравнение будет иметь вершину вниз. Для того чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, вершина параболы должна находиться выше оси x. Другими словами, значение y-координаты вершины должно быть положительным:

Выражение для координаты y-вершины параболы -b/2a. Чтобы уравнение имело решение, -b/2a > 0.

Решим неравенство:

-b/2a > 0 b/2a < 0 b < 0

Таким образом, если a > 0, то b должно быть отрицательным.

Рассмотрим случай, когда a < 0:

Если a < 0, то уравнение будет иметь вершину вверх. Для того чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, вершина параболы должна находиться ниже оси x. Другими словами, значение y-координаты вершины должно быть отрицательным:

-b/2a < 0

Решим неравенство:

-b/2a < 0 b/2a > 0 b > 0

Таким образом, если a < 0, то b должно быть положительным.

Таким образом, чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, принадлежащее интервалу (0; 1/2), необходимо выполнение двух условий:

1. Если a > 0, то b < 0.
2. Если a < 0, то b > 0.

Значение a не имеет значения в этом случае.