Question

HELP!!!! Решите тригонометрическое уравнение: cos⁴ x + sin⁴ x= 1

Answer 1

$cos^4x+sin^4x=1\\\\ \dfrac{3-4cos2x+cos4x}{8}+\dfrac{3+4cos2x+cos4x}{8}=1\\ \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}cos4x=1\\ cos4x=1\\ 4x=2 \pi k\\ x=\dfrac{\pi k}{2}; \ k \in Z$

Ответ: x=πk/2; k∈Z

Answer 2

Ответ на картинке внизу страницы

Answer 3

Давайте решим это тригонометрическое уравнение:

cos⁴ x + sin⁴ x = 1

Мы можем заметить, что данное уравнение похоже на тождество Пифагора: sin² x + cos² x = 1. Мы можем использовать это тождество для решения данного уравнения.

Раскроем степени:

(cos² x)² + (sin² x)² = 1

Теперь заменим (sin² x) согласно тождеству Пифагора:

(cos² x)² + (1 - cos² x)² = 1

Раскроем скобки:

(cos⁴ x) + (1 - 2cos² x + (cos² x)²) = 1

Упростим выражение:

cos⁴ x + 1 - 2cos² x + cos⁴ x = 1

Сгруппируем одинаковые степени:

2cos⁴ x - 2cos² x = 0

Факторизуем выражение:

2cos² x (cos² x - 1) = 0

Теперь рассмотрим два случая:

1. cos² x = 0

Из этого следует:

cos x = 0

Решением будет x = π/2 + kπ, где k - целое число.

2. cos² x - 1 = 0

Из этого следует:

cos² x = 1

cos x = ±1

Решением будет x = 2kπ или x = (2k + 1)π, где k - целое число.

Итак, решениями исходного тригонометрического уравнения cos⁴ x + sin⁴ x = 1 являются x = π/2 + kπ, x = 2kπ и x = (2k + 1)π, где k - целое число.