Question

Найти комплексные числа, удовлетворяющие соотношению: z^3 = z¯

Answer 1

Ответ:

$z_{1} = i \\ z_{2} = - i$

Объяснение:

${z}^{3} = \frac{1}{z} \\ {z}^{4} = 1 \\ {z}^{4} - 1 = 0 \\ ( {z}^{2} - 1)( {z}^{2} + 1) = 0 \\ (z - 1)(z + 1)( z+ i)(z - i) = 0$

Answer 2

Данное соотношение можно решить, представив комплексное число z в виде z = a + bi, где a и b - действительные числа, а i - мнимая единица.

Заменим z в исходном соотношении: (a + bi)^3 = (a - bi)

Возводя в куб и раскрывая скобки, получим: (a^3 + 3a^2bi + 3ab^2i^2 + b^3i^3) = (a - bi)

Учитывая, что i^2 = -1 и i^3 = -i, упростим выражение: (a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 - b^3i) = (a - bi)

Разделим полученное выражение на (a - bi): a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 - b^3i = a - bi

Разделим полученное уравнение на i: (a^3 - 3ab^2) + (3a^2b - b^3)i = a - bi

Приравняем вещественные и мнимые части: a^3 - 3ab^2 = a (уравнение 1) 3a^2b - b^3 = -b (уравнение 2)

Решая это систему уравнений, можно найти значения комплексного числа z, которые удовлетворяют исходному соотношению z^3 = z¯.