Question

Найти интеграл 2x arctgx dx

Answer 1

$\int udv=uv-\int v du\\\\\int 2x*arctgxdx=[u=arctgx\rightarrow du=\frac{dx}{1+x^2};dv=2xdx\rightarrow v=x^2]=\\=arctgx*x^2-\int\frac{x^2}{1+x^2}dx=[\int\frac{x^2}{x^2+1}dx=\int\frac{x^2+1-1}{x^2+1}dx=\\=\int(1-\frac{1}{x^2+1})dx=x-arctgx+C]=\\=arctgx*x^2-x+arctgx+C$

Answer 2

Для решения данного интеграла применим метод интегрирования по частям.

Интегрируя по частям, мы выбираем одну функцию для дифференцирования (u) и другую для интегрирования (dv). В данном случае, возьмем: u = arctan(x) => du = (1 / (1 + x^2)) dx dv = 2x dx => v = x^2

Применим формулу интегрирования по частям:

∫(u dv) = u v - ∫(v du)

Подставим значения u, v и du в формулу:

∫(2x arctan(x) dx) = x^2 arctan(x) - ∫(x^2 (1 / (1 + x^2)) dx)

Заметим, что ∫(x^2 (1 / (1 + x^2)) dx) - это интеграл рациональной функции, который можно решить методом частных дробей или сделать замену переменной.

Продолжим интегрирование:

∫(x^2 (1 / (1 + x^2)) dx) = ∫(x^2 / (1 + x^2) dx)

Сделаем замену переменной, пусть z = 1 + x^2, тогда dz = 2x dx:

∫(x^2 / (1 + x^2) dx) = ∫(1 - 1 / (1 + x^2) dx) = ∫(1 - 1 / z dz) = z - ln|z| + C = 1 + x^2 - ln|1 + x^2| + C

Теперь вернемся к исходному интегралу:

∫(2x arctan(x) dx) = x^2 arctan(x) - (1 + x^2 - ln|1 + x^2|) + C

Где C - произвольная постоянная. Полученное выражение представляет решение данного интеграла.