Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y=e^x,y=e^-x,x=1

Answer 1

SABC=SOABD-SAOCD

₁          ₁                       ₁

∫eˣdx-∫e⁻ˣdx=(eˣ+e⁻ˣ)= e¹+e⁻¹-e⁰-e⁻⁰=e+(1/e)-2

⁰         ⁰                       ⁰

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными кривыми и вертикальной линией, в данном случае x = 1, мы можем использовать определенный интеграл. Площадь будет равна разности интегралов от этих кривых в пределах соответствующего интервала.

Для начала найдем точки пересечения кривых y = e^x и y = e^(-x):

e^x = e^(-x)

Прологарифмируем обе части:

x = -x

2x = 0

x = 0

Таким образом, эти две кривые пересекаются при x = 0.

Теперь вычислим площадь фигуры, используя интегралы:

S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx

где a и b - пределы интегрирования, f(x) и g(x) - соответствующие функции.

В данном случае:

S = ∫[0, 1] (e^x - e^(-x)) dx

Раскроем скобки и проинтегрируем:

S = ∫[0, 1] e^x dx - ∫[0, 1] e^(-x) dx

Для интеграла от e^x мы получим:

∫ e^x dx = e^x

А для интеграла от e^(-x):

∫ e^(-x) dx = -e^(-x)

Теперь вычислим значения интегралов в пределах от 0 до 1:

S = e^1 - e^0 - (-e^(-1) - (-e^0))

S = e - 1 - (-e^(-1) + 1)

S = e - 1 + e^(-1) - 1

S = e + e^(-1) - 2

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = e^x, y = e^(-x) и x = 1, равна e + e^(-1) - 2.