Question

Найдите все целые значения аргумента, при которых функция g(x)=(2x+5)/x принимает целые значения.

Answer 1

G(x)=2+5/x
x=-1  g(-1)=2-5=-3
x=1    g(1)=2+5=7
x=-5  g(-5)=2-1=1
x=5   g(5)=2+1=3

Answer 2

Чтобы функция $g(x) = \frac{{2x+5}}{x}$ принимала целочисленные значения, необходимо, чтобы числитель $2x+5$ был кратен знаменателю $x$.

Таким образом, мы можем записать уравнение: $2x+5 = kx,$ где $k$ - целое число.

Перепишем это уравнение в виде: $2x - kx = -5.$

Факторизуем левую часть уравнения: $x(2 - k) = -5.$

Теперь у нас есть два случая для рассмотрения:

1. Если $2 - k = 0$, то уравнение не имеет решений, так как это приведет к делению на ноль в исходной функции $g(x)$.

2. Если $2 - k \neq 0$, то мы можем разделить обе части уравнения на $(2 - k)$ и получить: $x = \frac{{-5}}{{2 - k}}.$

Теперь мы можем найти все целочисленные значения $k$, при которых $\frac{{-5}}{{2 - k}}$ является целым числом.

Возможные значения $k$ будут такими, что знаменатель $(2 - k)$ делит числитель $-5$ без остатка.

Таким образом, возможные значения $k$ - это все делители числа $-5$.

Раскладывая число $-5$ на простые множители, получаем: $-5 = -1 \times 5$.

Значит, возможные значения $k$ равны $-1$ и $5$.

Таким образом, функция $g(x)$ примет целочисленные значения при $k = -1$ и $k = 5$.

Подставляя эти значения $k$ обратно в уравнение $x = \frac{{-5}}{{2 - k}}$, получаем:

При $k = -1$: $x = -5$.

При $k = 5$: $x = 1$.

Итак, функция $g(x)$ примет целочисленные значения при $x = -5$ и $x = 1$.