Question

На плоскости дан квадрат со стороной 1 и полярная система координат, в которой полюсом служит вершина квадрата, а полярный луч проходит через вершину, противоположную полюсу. Найдите полярные координаты вершин квадрата.

Answer 1

Получается, что полярная ось является диагональю квадрата, поэтому сразу координаты точек на диагонали

$r_1 = 0\\ r_2 = \sqrt{2},\quad\varphi_2 = 0$

Две остальные вершины лежат на расстоянии 1 от вершины-полюса, а углы на них составляют 45 градусов (в "плюс" и в "минус")

$r_3=r_4 =1\\ \varphi_3 = -\varphi_4 = \pi/4$

Answer 2

Для нахождения полярных координат вершин квадрата в данной системе координат, мы можем использовать следующий подход:

1. Первая вершина квадрата (вершина A): Её полярные координаты будут (ρ, θ), где ρ - расстояние от полюса до вершины, а θ - угол между полярным лучом и положительным направлением оси ρ. В данном случае, расстояние от полюса до вершины A равно длине стороны квадрата, то есть 1, и угол θ равен 45 градусов или π/4 радиан.

Таким образом, полярные координаты вершины A будут (1, π/4).

2. Вторая вершина квадрата (вершина B): Эта вершина находится на том же расстоянии от полюса, что и вершина A, но угол θ будет отличаться на 90 градусов или π/2 радиан. Таким образом, полярные координаты вершины B будут (1, π/4 + π/2) или (1, 3π/4).

3. Третья и четвертая вершины квадрата (вершины C и D): Они также будут находиться на расстоянии 1 от полюса, но углы θ будут отличаться на 180 градусов или π радиан. Таким образом, полярные координаты вершин C и D будут (1, π/4 + π) или (1, 5π/4) и (1, π/4 + 2π) или (1, 7π/4) соответственно.

Итак, полярные координаты вершин квадрата в данной системе координат будут: A: (1, π/4) B: (1, 3π/4) C: (1, 5π/4) D: (1, 7π/4)