Question

Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если от третьего отнять 4, то числа составят арифметическую прогрессию. Если же от второго и третьего членов полученной арифметической прогрессии отнять по 1, то снова получится геометрическая прогрессия. Найти эти числа.

Answer 1

По условию 
Геометрическая прогрессия  :   b₁ , b₂ , b₃              (1)
Арифметическая прогрессия :   b₁ , b₂ , b₃-4           (2)
Геометрическая прогрессия :     b₁ , b₂-1 , b₃-5        (3)

Для членов геометрической прогрессии справедливо среднее геометрическое  :   $b^2_n=b_{n-1}*b_{n+1}$
Для членов арифметической прогрессии справедливо среднее арифметическое  :   $a_n= \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$  ⇔   $2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$

Тогда по условию можно составить систему из трёх уравнений с тремя неизвестными
1)  b₂² = b₁*b₃
2)  2b₂ = b₁ + b₃ - 4     ⇔   b₃ = 2b₂ - b₁ + 4
3)  (b₂-1)² = b₁*(b₃ - 5)

Третье уравнение упростить
 b₂² -2b₂ + 1 = b₁*b₃ - 5b₁     Подставить  из первого уравнения b₁*b₃
 b₂² -2b₂ + 1 = b₂² - 5b₁
 -2b₂ + 1 = - 5b₁   ⇔    5b₁ = 2b₂ - 1     ⇔     b₁ = 0,4b₂ - 0,2
Подставить полученное  b₁  во  второе уравнение
 b₃ = 2b₂ - b₁ + 4 = 2b₂ - (0,4b₂ - 0,2) + 4 = 2b₂ - 0,4b₂ + 0,2 + 4
 b₃ = 1,6b₂ + 4,2
Подставить   b₁ и b₃    в первое уравнение
b₂² = b₁*b₃
b₂² = (0,4b₂ - 0,2)*(1,6b₂ + 4,2)
b₂² = 0,64b₂² - 0,32b₂ + 1,68b₂ - 0,84
0,36b₂² -1,36b₂ + 0,84 = 0     | * 25
9b₂² - 34 b₂ + 21 = 0
D/4 = (34/2)² - 9*21 = 289 - 189 = 100 = 10²
    a)  b₂' = (34/2 - 10)/9 = 7/9   ⇒
         b₁' = 0,4b₂ - 0,2 = 0,4*(7/9) - 0,2 = 1/9;
         b₃' = 1,6b₂ + 4,2 = 1,6*(7/9) + 4,2 = 49/9
    b)  b₂" = (34/2 + 10)/9 = 3
         b₁" = 0,4b₂ - 0,2 = 0,4*3 - 0,2 = 1
         b₃" = 1,6b₂ + 4,2 = 1,6 * 3 + 4,2 = 9
--------------------------------------------------------
Проверка - вариант а)
Геометрическая прогрессия   $\frac{1}{9} ; \frac{7}{9} ; \frac{49}{9}$  со знаменателем  q = 7
Арифметическая прогрессия   $\frac{1}{9} ; \frac{7}{9} ; \frac{13}{9}$   с разностью   $d = \frac{6}{9}$
Геометрическая прогрессия   $\frac{1}{9} ; -\frac{2}{9} ; \frac{4}{9}$ со знаменателем  q = -2

Проверка - вариант b)
Геометрическая прогрессия   1; 3; 9    со знаменателем  q = 3
Арифметическая прогрессия   1; 3; 5   с разностью   d = 2
Геометрическая прогрессия    1; 2; 4    со знаменателем  q = 2

Ответ: числа   $\frac{1}{9} ; \frac{7}{9} ; \frac{49}{9}$   или   1; 3; 9