Question

В треугольнике ABC угол C равен 30, AD-биссектриса угла A, угол B больше угла ADB в четыре раза. Найдите градусную меру угла B.

Answer 1

Дано:

ΔABC,  ∠C = 30°,  AD - биссектриса ∠A,  ∠ABC = 4 ∠ADB.

Чертеж в приложении.  

Найти:

∠B - ?

Решение:

Пусть ∠ADB = x. Тогда ∠ABC = 4x. По теореме о сумме углов треугольника (смотрите на ΔABD):

∠BAD = 180° - ∠ADB - ∠ABC = 180° - x - 4x = 180° - 5x.

А про углы ΔADC можно сказать следующее:

∠ACD = 30° (написано в условии);

∠ADC = 180° - ∠ADB = 180° - x (∠ADC и ∠ADB - смежные);

∠CAD = 180° - ∠ACD - ∠ADC = 180° - 30° - (180° - x) = x - 30° (уже упомянутая в решении теорема о сумме углов треугольника, и несложные алгебраические преобразования).

А теперь вспомним, что AD биссектриса:

∠BAD = ∠CAD

180° - 5x = x - 30°

x + 5x = 180° + 30°

6x = 210°

x = 35°

Теперь несложно найти ∠B:

∠B = ∠ABC = 4x = 4 · 35° = 140°.

Задача решена!

Ответ: ∠B = 140°.