Question

ДАМ МНОГО БАЛЛОВ ! Автомобиль и велосипедист движутся навстречу друг другу со скоростями соответственно 20 и 5 м/с. Расстояние между ними в начальный момент времени равно 250 м. Написать уравнения движения тел и построить графики зависимости х = x(t). Систему отсчета связать с землей. Считать, что положение автомобиля при t = 0 совпадает с началом отсчета, а ось X направлена в ту же сторону, что и скорость движения автомобиля. Графически и аналитически определить: а) место и время их встречи; б) кто из них раньше пройдет сотый метр и на сколько раньше; в) расстояние между ними через 5 с; г) где находился автомобиль в тот момент, когда велосипедист проходил точку с координатой 225 м; д) когда велосипедист проходил точку, в которой автомобиль был через 7,5 с после начала движения; е) в какие моменты времени расстояние между ними было 125 м; ж) какую точку автомобиль прошел раньше велосипедиста на 12,5 с.

Answer 1

Уравнения движения тел

Для автомобиля: $x_{\text{авто}}(t) = 20t$

Для велосипедиста: $x_{\text{вело}}(t) = 250 - 5t$

Графики зависимости x = x(t)

График для автомобиля (x(t) = 20t):

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

t = np.linspace(0, 12.5, 100)  # Задаем интервал времени от 0 до 12.5 секунды
x_avto = 20 * t  # Уравнение движения автомобиля

plt.plot(t, x_avto)
plt.xlabel('t (секунды)')
plt.ylabel('x (метры)')
plt.title('График зависимости x(t) для автомобиля')
plt.grid(True)
plt.show()

График для велосипедиста (x(t) = 250 - 5t):

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

t = np.linspace(0, 50, 100)  # Задаем интервал времени от 0 до 50 секунд
x_velo = 250 - 5 * t  # Уравнение движения велосипедиста

plt.plot(t, x_velo)
plt.xlabel('t (секунды)')
plt.ylabel('x (метры)')
plt.title('График зависимости x(t) для велосипедиста')
plt.grid(True)
plt.show()

А) Место и время их встречи

Чтобы найти место и время их встречи, нужно приравнять уравнения движения тел и найти общее значение времени.

$20t = 250 - 5t$

$25t = 250$

$t = 10$ секунд

Подставляя найденное значение времени в одно из уравнений движения:

$x_{\text{авто}}(10) = 20 \cdot 10 = 200$ м

Место и время их встречи: $(200, 10)$

Б) Кто из них раньше пройдет сто метров и на сколько раньше

Чтобы найти, кто раньше пройдет сто метров и на сколько раньше, нужно найти время, при котором одно из тел пройдет 100 метров, а другое тело будет находиться еще на расстоянии 100 метров от начальной точки.

Для автомобиля:

$20t = 100$

$t = 5$ секунд

Для велосипедиста:

$250 - 5t = 100$

$t = 30$ секунд

Таким образом, автомобиль пройдет 100 метров раньше велосипедиста на 30 - 5 = 25 секунд.

В) Расстояние между ними через 5 секунд

Чтобы найти расстояние между ними через 5 секунд, нужно подставить это значение времени в одно из уравнений движения и найти разность координат.

$x_{\text{авто}}(5) = 20 \cdot 5 = 100$ м

$x_{\text{вело}}(5) = 250 - 5 \cdot 5 = 225$ м

Расстояние между ними через 5 секунд: 225 - 100 = 125 м

Г) Где находился автомобиль, когда велосипедист проходил точку с координатой 225 м

Чтобы найти момент времени, когда велосипедист проходил точку с координатой 225 м, нужно приравнять уравнение движения велосипедиста к 225 и решить полученное уравнение относительно времени.

$250 - 5t = 225$

$5t = 25$

$t = 5$ секунд

Подставляя найденное значение времени в уравнение движения автомобиля:

$x_{\text{авто}}(5) = 20 \cdot 5 = 100$ м

Таким образом, автомобиль находился в точке (100, 5) момент времени, когда велосипедист проходил точку с координатой 225 м.

Д) Когда велосипедист проходил точку, в которой автомобиль был через 7,5 секунд после начала движения

Чтобы найти момент времени, когда велосипедист проходил точку, в которой автомобиль был через 7,5 секунд после начала движения, нужно приравнять уравнение движения автомобиля к координате точки и решить полученное уравнение относительно времени.

$20t = 250 - 5 \cdot 7,5$

$20t = 212,5$

$t = 10,625$ секунд

Е) В какие моменты времени расстояние между ними было 125 м

Чтобы найти моменты времени, когда расстояние между ними было 125 м, нужно приравнять разность координат к 125 и решить полученное уравнение относительно времени.

$20t - (250 - 5t) = 125$

$25t = 375$

$t = 15$ секунд

Таким образом, расстояние между ними было 125 м в моменты времени 15 секунд и 15 + 12,5 = 27,5 секунд.

Ж) Какую точку автомобиль прошел раньше велосипедиста на 12,5 секунд

Чтобы найти точку, которую автомобиль прошел раньше велосипедиста на 12,5 секунд, нужно найти координату автомобиля в момент времени t = 12,5 секунд и сравнить ее с координатой велосипедиста в этот же момент времени.

$x_{\text{авто}}(12,5) = 20 \cdot 12,5 = 250$ м

$x_{\text{вело}}(12,5) = 250 - 5 \cdot 12,5 = 187,5$ м

Таким образом, автомобиль прошел точку (250, 12,5) раньше велосипедиста на 12,5 секунд.