Question

Тело брошено под некоторым углом α к горизонту. Найти этот угол, если горизонтальная дальность s полета тела в четыре раза больше максимальной высоты H траектории.

Answer 1

Давайте разберемся с этой задачей.

Пусть \( \alpha \) - это угол, под которым тело брошено к горизонту, \( s \) - горизонтальная дальность полета тела, и \( H \) - максимальная высота траектории.

Мы знаем, что горизонтальная дальность полета тела в четыре раза больше максимальной высоты траектории. Это можно выразить уравнением:

\[ s = 4H \]

Также мы знаем, что траектория броска тела описывается уравнением движения в предположении отсутствия сопротивления воздуха:

\[ H = \frac{{v_0^2 \sin^2(\alpha)}}{{2g}} \]

где \( v_0 \) - начальная скорость броска, \( g \) - ускорение свободного падения (приблизительно 9.8 м/с²).

Теперь давайте выразим начальную скорость \( v_0 \) через известные величины. Пусть \( u \) - начальная скорость по горизонтали, \( v \) - начальная скорость по вертикали. Тогда:

\[ v_0 = \sqrt{u^2 + v^2} \]

Так как тело брошено под углом \( \alpha \) к горизонту, у нас есть следующие соотношения:

\[ u = v_0 \cos(\alpha) \] \[ v = v_0 \sin(\alpha) \]

Подставим эти значения в уравнение для начальной скорости:

\[ v_0 = \sqrt{(v_0 \cos(\alpha))^2 + (v_0 \sin(\alpha))^2} \]

Решая это уравнение относительно \( v_0 \), получаем:

\[ v_0 = \frac{s}{\sqrt{1 + \frac{1}{4}}} \]

Теперь мы можем подставить это значение в уравнение для максимальной высоты:

\[ H = \frac{{v_0^2 \sin^2(\alpha)}}{{2g}} \]

\[ H = \frac{{\left(\frac{s}{\sqrt{1 + \frac{1}{4}}}\right)^2 \sin^2(\alpha)}}{{2g}} \]

Теперь у нас есть уравнение для максимальной высоты \( H \) через известные величины \( \alpha \) и \( s \). Теперь мы можем использовать уравнение для горизонтальной дальности \( s = 4H \), чтобы найти угол \( \alpha \):

\[ s = 4H \]

\[ \frac{s}{4} = H \]

\[ \frac{s}{4} = \frac{{\left(\frac{s}{\sqrt{1 + \frac{1}{4}}}\right)^2 \sin^2(\alpha)}}{{2g}} \]

Решая это уравнение относительно \( \sin^2(\alpha) \), а затем находя \( \alpha \), мы сможем найти угол \( \alpha \), под которым тело брошено к горизонту.