Question

Цилиндр с площадью основания 20 см2, закрытый поршнем массой 10 кг, находится в стартующей вертикально ракете. Определить ускорение ракеты, если объем газа под поршнем в движущейся ракете в 3 раза меньше, чем в покоящейся. Давление воздуха в ракете po = 0,1 МПа.

Answer 1

Для решения этой задачи воспользуемся законом Бойля-Мариотта для идеального газа и вторым законом Ньютона.

1. Закон Бойля-Мариотта: \[ P_1V_1 = P_2V_2 \] где \( P \) - давление, \( V \) - объем.

В данном случае, пусть индексы 1 и 2 обозначают состояние в покое и движении соответственно.

Так как объем газа в движущейся ракете в 3 раза меньше, чем в покоящейся, то \( V_2 = \frac{1}{3}V_1 \).

Уравнение принимает вид: \[ P_1V_1 = P_2 \left(\frac{1}{3}V_1\right) \] \[ P_1 = \frac{P_2}{3} \]

2. Второй закон Ньютона: \[ F = ma \] где \( F \) - сила, \( m \) - масса, \( a \) - ускорение.

В данном случае, сила, действующая на поршень (и соответственно на ракету), это разность давлений внутри и снаружи ракеты, умноженная на площадь основания цилиндра: \[ F = (P_2 - P_0)S \] где \( P_0 \) - давление окружающей среды (например, атмосферного воздуха), \( S \) - площадь основания цилиндра.

3. Подставим \( P_1 \) из первого шага в уравнение силы: \[ F = \left(\frac{P_2}{3} - P_0\right)S \]

4. Теперь ускорение можно найти с использованием второго закона Ньютона: \[ a = \frac{F}{m} \] \[ a = \frac{\left(\frac{P_2}{3} - P_0\right)S}{m} \]

5. Подставим значения: \( P_2 = 0.1 \, \text{МПа} \), \( P_0 \) обычно принимают как давление атмосферы (\( \approx 0.1 \, \text{МПа} \)), \( S = 20 \, \text{см}^2 \), \( m = 10 \, \text{кг} \).

\[ a = \frac{\left(\frac{0.1}{3} - 0.1\right) \times 20 \times 10^{-4}}{10} \]

Вычислите эту формулу, чтобы получить значение ускорения ракеты.