Question

Два одинаковых заряженных металлических шарика притягиваются друг к другу. После того как шарики привели в соприкосновение и развели на расстояние вдвое большее первоначального, сила взаимодействия между ними уменьшилась в 12 раз. Каким был заряд первого шарика, если заряд второго был 1 мкКл? [−1/3 мкКл или −3 мкКл]

Answer 1

f=k*q1*q2/r^2
по формуле 

Answer 2

Давайте обозначим заряд первого шарика через Q1 и заряд второго через Q2. Из условия задачи мы знаем, что после того, как шарики привели в соприкосновение и развели на расстояние вдвое большее первоначального, сила взаимодействия уменьшилась в 12 раз.

Сила электростатического взаимодействия между двумя заряженными объектами определяется законом Кулона:

\[ F = \frac{k \cdot |Q_1 \cdot Q_2|}{r^2} \]

где: - \( F \) - сила между зарядами, - \( k \) - постоянная Кулона (\( k \approx 8.99 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \)), - \( Q_1 \) и \( Q_2 \) - заряды шариков, - \( r \) - расстояние между шариками.

Из условия задачи известно, что после разведения шариков на расстояние вдвое большее первоначального, сила уменьшилась в 12 раз. Это можно записать как:

\[ \frac{F_{\text{новая}}}{F_{\text{старая}}} = \frac{1}{12} \]

Так как \( F \propto \frac{1}{r^2} \), то отношение сил можно выразить через отношение квадратов расстояний:

\[ \frac{r_{\text{старое}}^2}{r_{\text{новое}}^2} = 12 \]

Итак, у нас есть два уравнения:

1. \[ \frac{F_{\text{новая}}}{F_{\text{старая}}} = \frac{1}{12} \] 2. \[ \frac{r_{\text{старое}}^2}{r_{\text{новое}}^2} = 12 \]

Теперь, после соприкосновения шариков, заряды распределяются равномерно. После разведения шариков на расстояние вдвое большее, заряд на каждом из них уменьшается вдвое. Таким образом, \( Q_1 \) станет равным \( \frac{Q_{1\text{новый}}}{2} \), где \( Q_{1\text{новый}} \) - новый заряд первого шарика после разведения.

Теперь мы можем использовать эти данные, чтобы выразить силу взаимодействия и расстояние в терминах начальных зарядов и начального расстояния:

1. \[ F_{\text{старая}} = \frac{k \cdot |Q_1 \cdot Q_2|}{r_{\text{старое}}^2} \] 2. \[ F_{\text{новая}} = \frac{k \cdot |\frac{Q_{1\text{новый}}}{2} \cdot \frac{Q_2}{2}|}{r_{\text{новое}}^2} \]

Подставим эти значения в уравнение отношения сил:

\[ \frac{\frac{k \cdot |\frac{Q_{1\text{новый}}}{2} \cdot \frac{Q_2}{2}|}{r_{\text{новое}}^2}}{\frac{k \cdot |Q_1 \cdot Q_2|}{r_{\text{старое}}^2}} = \frac{1}{12} \]

Сократим постоянные Кулона и упростим выражение:

\[ \frac{|\frac{Q_{1\text{новый}}}{2} \cdot \frac{Q_2}{2}| \cdot r_{\text{старое}}^2}{|\frac{Q_1 \cdot Q_2}{r_{\text{старое}}^2}| \cdot r_{\text{новое}}^2} = \frac{1}{12} \]

Теперь можем решить уравнение относительно \( Q_{1\text{новый}} \):

\[ \frac{Q_{1\text{новый}} \cdot r_{\text{старое}}^2}{4} = \frac{Q_1 \cdot Q_2 \cdot r_{\text{старое}}^2}{4 \cdot r_{\text{новое}}^2 \cdot 12} \]

Сократим обе стороны на \( r_{\text{старое}}^2/4 \):

\[ Q_{1\text{новый}} = \frac{Q_1 \cdot Q_2 \cdot r_{\text{старое}}^2}{r_{\text{новое}}^2 \cdot 12} \]

Теперь мы можем подставить известные значения: \( Q_2 = 1 \, \text{мкКл} \), \( r_{\text{новое}} = 2 \cdot r_{\text{старое}} \). Подставим это в уравнение:

\[ Q_{1\text{новый}} = \frac{Q_1 \cdot 1 \cdot (2 \cdot r_{\text{старое}})^2}{(r_{\text{старое}})^2 \cdot 12} \]

Упростим выражение:

\[ Q_{1\text{новый}} = \frac{Q_1 \cdot 4}{3} \]

Теперь у нас есть выражение для нового заряда первого шарика. Также мы знаем, что заряд на втором шарике \( Q_2 = 1 \, \text{мкКл} \). Теперь можем записать уравнение отношения зарядов после соприкосновения:

\[ \frac