Question

На фото условие, решение в учебнике и моё решение. оно ни как не сходится, как бы я не решал не выходит, решение в сборнике я не понимаю.........Решал я так:я предположил что гипотенуза будет минимальна при равнобедренном прямоугольном треугольнике, и я приравнял 2 пути. выразил время. нашёл путь(1)=путь(2) и через теорему синусов вычислил гипотенузу. (Где я ошибся??? или я прав? причём нахождение производной в примере решения в сборнике???) заранее спасибо...

Answer 1

Очевидно, что Ваше изначальное предположение неверно. Расстояние минимально не тогда, когда получается равнобедренный треугольник. Из мат. анализа известно, что в точке, где функция достигает минимального или максимального значения производная обращается в 0 (это верно вообще говоря для гладких функций, которые в физике почти всегда встречаются, в частности в этой задаче). Я бы обошелся без производной. Если написать выражение для $(s(t))^2=(v_1^2+v_2^2)t^2-2lv_2t+l^2$, то видно, что это квадратный двучлен относительно t, он же формула параболы с "рогами вверх". А известно, что минимум этой функции достигается посередине между корнями, если есть корни. Если эту функцию сместить вниз, т.е. вычесть некую постоянную, то у нее всегда могут быть корни, а положение минимума при этом не изменится. Просто убираем постоянное слагаемое $l^2$ из формулы, выносим t за скобки и сразу видно, что один корень это t=0, а второй там, где скобка зануляется, т.е. $t=\frac{2lv_2}{v_1^2+v_2^2}$. Берем среднее арифметическое между корнями и получаем ответ: $t_{min}=\frac{lv_2}{v_1^2+v_2^2}$, а минимальное расстояние выражаем из формулы s(t).