Question

Доказать что поле бесконечной равномерно заряженной плоскости потенциально.

Answer 1

В потенциальном поле работа по перемещению заряда  по замкнутому контуру равна нулю.

Найдем:
A = q*E*(x₂ - x₁) = 0, поскольку вернулись в ту же точку: (x₁ = x₂)

Answer 2

Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости является потенциальным.

Для доказательства этого факта можно воспользоваться формулой для потенциала точечного заряда. Потенциал точечного заряда определяется как отношение электрического потенциала к электрическому заряду:

V = k * Q / r,

где V - потенциал, k - постоянная Кулона, Q - заряд точечного заряда, r - расстояние от точки до заряда.

При расчете потенциала бесконечной равномерно заряженной плоскости можно представить ее как совокупность бесконечного числа бесконечно малых точечных зарядов. Таким образом, можно записать потенциал плоскости как интеграл от потенциала точечных зарядов:

V = ∫(k * dQ / r),

где dQ - бесконечно малый заряд плоскости, r - расстояние от точки до бесконечно малого заряда.

Поскольку плоскость равномерно заряжена, то плотность заряда на плоскости будет постоянной и можно вынести ее за знак интеграла:

V = k * σ * ∫(dS / r),

где σ - плотность заряда на плоскости, dS - бесконечно малая площадка на плоскости, r - расстояние от точки до бесконечно малой площадки.

Так как поле бесконечной плоскости имеет симметрию относительно плоскости, то расстояние r одинаково для всех точек плоскости. Поэтому можно вынести его из-под знака интеграла:

V = k * σ * ∫(dS) / r.

Интеграл от бесконечно малой площадки dS по всей площади плоскости равен площади всей плоскости:

V = k * σ * S / r,

где S - площадь плоскости.

Таким образом, потенциал бесконечной равномерно заряженной плоскости определяется формулой:

V = k * σ * S / r.

Эта формула показывает, что потенциал плоскости не зависит от расстояния до плоскости и определяется только плотностью заряда и площадью плоскости. Это свойство является характеристическим для потенциального поля. Таким образом, поле бесконечной равномерно заряженной плоскости является потенциальным.