Question

Тележка длиной 5 м стоит на гладких рельсах. На противоположных концах тележки стоят два мальчика. Масса тележки 75 кг, массы мальчиков 45 кг и 30 кг. Мальчики меняются местами. На сколько сантиметров переместится при этом тележка?

Answer 1

Если бы мальчики весили по 30 кг, то центр тяжести груженой тележки был бы в ее середине. Следовательно смещение центра тяжести относительно середины определяется только "лишними" 15 кг, которые переместились с одного края на другой. В одном положении центр тяжести всей системы расположен в точке 15кг*2,5м/150кг=25см, в другом минус 25 см. Центр тяжести всей системы при перемещении должен остаться на месте, следовательно, тележка сдвинется на 50 см.

Answer 2

Чтобы рассчитать, насколько сантиметров переместится тележка при смене местами двух мальчиков, мы можем использовать законы сохранения импульса.

Импульс системы (тележки и мальчиков) до и после смены местами должен оставаться постоянным, так как на тележку и мальчиков не действуют внешние горизонтальные силы (предполагаем отсутствие трения). Формула для импульса:

\[ m_1 \cdot v_{1i} + m_2 \cdot v_{2i} = m_1 \cdot v_{1f} + m_2 \cdot v_{2f} \]

где \( m_1 \) и \( m_2 \) - массы мальчиков до и после смены мест, \( v_{1i} \) и \( v_{2i} \) - начальные скорости мальчиков, \( v_{1f} \) и \( v_{2f} \) - конечные скорости мальчиков после смены мест.

Так как мальчики меняются местами, их начальные скорости по модулю равны. После смены местами их конечные скорости также будут равны, но знаки скоростей изменятся. Таким образом, конечные скорости мальчиков будут равны начальным, но с противоположными знаками:

\[ v_{1f} = -v_{1i} \] \[ v_{2f} = -v_{2i} \]

Теперь мы можем записать уравнение сохранения импульса:

\[ m_1 \cdot v_{1i} + m_2 \cdot v_{2i} = m_1 \cdot (-v_{1i}) + m_2 \cdot (-v_{2i}) \]

Преобразуем уравнение, выделяя \( v_{1i} \) и \( v_{2i} \):

\[ m_1 \cdot v_{1i} + m_2 \cdot v_{2i} = -m_1 \cdot v_{1i} - m_2 \cdot v_{2i} \]

Теперь найдем начальную скорость тележки. Сначала найдем импульс мальчиков до и после смены мест:

\[ \text{Импульс мальчиков до} = m_1 \cdot v_{1i} + m_2 \cdot v_{2i} \]

\[ \text{Импульс мальчиков после} = -m_1 \cdot v_{1i} - m_2 \cdot v_{2i} \]

Так как импульс системы должен оставаться постоянным, то изменение импульса тележки равно изменению импульса мальчиков:

\[ \text{Изменение импульса тележки} = \text{Импульс мальчиков до} - \text{Импульс мальчиков после} \]

Так как масса тележки и мальчиков не меняется, изменение импульса тележки пропорционально изменению скорости тележки:

\[ \text{Изменение импульса тележки} = \text{Масса тележки} \cdot \text{Изменение скорости тележки} \]

Теперь мы можем записать уравнение для изменения скорости тележки:

\[ \text{Масса тележки} \cdot \text{Изменение скорости тележки} = \text{Изменение импульса тележки} \]

\[ \text{Изменение скорости тележки} = \frac{\text{Изменение импульса тележки}}{\text{Масса тележки}} \]

Таким образом, мы можем найти изменение скорости тележки. Поскольку мы знаем, что \(\text{Изменение скорости тележки} = \frac{\text{Изменение положения тележки}}{\text{Время}}\), где время - это время, в течение которого происходит смена мест мальчиков, и мы ищем изменение положения тележки, то:

\[ \text{Изменение положения тележки} = \text{Изменение скорости тележки} \cdot \text{Время} \]

Теперь давайте подставим значения:

\[ \text{Изменение положения тележки} = \frac{\text{Изменение импульса тележки}}{\text{Масса тележки}} \cdot \text{Время} \]

Таким образом, мы можем решить задачу, подставив известные значения масс тележки и мальчиков, начальные скорости мальчиков и время смены мест. После этого, умножив полученное изменение положения тележки на 100 (чтобы перевести его в сантиметры), мы получим ответ на задачу.