Question

Третий вагон поезда, начавшего двигаться равноускоренно без начальной скорости, прошел мимо неподвижного наблюдателя за время t3=4с. За какое время tобщ пройдет мимо него весь поезд, состоящий из N=10 вагонов одинаковой длины? За какое время t1 пройдет мимо него первый вагон?

Answer 1

При равноускоренном движении путь связан со временем известной зависимостью:
$s=v_0*t+ \frac{a*t^2}{2} \qquad (1)$
По условию начальная скорость отсутствует и формула (1) упрощается:
$s= \frac{a*t^2}{2} \qquad (2)$
Путь, который прошел поезд до того, как с наблюдателем поравнялось начало третьего вагона равен 2*l, где l - длина вагона. Тогда путь, который прошел поезд к моменту, когда конец третьего вагона прошел мимо наблюдателя, равен 2*l+l=3*l.
Из (2) выразим время этих событий, T2 (прошел второй вагон и начался третий) и T3 (прошел третий вагон и начался четвертый).
$T_2= \sqrt{ \frac{2*2*l}{a}}=\sqrt{ \frac{4*l}{a}}=2\sqrt{ \frac{l}{a}}; \quad T_3= \sqrt{ \frac{2*3*l}{a}}=\sqrt{ \frac{6*l}{a}};$
По условию третий вагон прошел мимо наблюдателя за время t3=4c, тогда получаем уравнение:
$T_3-T_2=t_3; \\ \sqrt{ \frac{6*l}{a}}-2\sqrt{ \frac{l}{a}}=4; \qquad (3)$
Сделаем замену переменных k²=l / a и уравнение (3) примет вид:
 $k\sqrt{6}-2k=4; \ k( \sqrt{6}-2)=4 \to k= \frac{4}{ \sqrt{6}-2}; \\ k^2= \frac{16}{6-4 \sqrt{6}+4}= \frac{16}{10-4 \sqrt{6}}=\frac{8}{5-2\sqrt{6}}; \\ \frac{l}{a}=\frac{8}{5-2\sqrt{6}} \to a= \frac{1}{8}(5-2 \sqrt{6})*l \qquad (4)$
Весь поезд состоит из десяти вагонов, т.е. имеет длину 10*l. Тогда подставив (4) в (2) и полагая s=10*l найдем общее время:
$10*l= \frac{\frac{1}{8}(5-2 \sqrt{6})*l*t^2}{2}; \ 160=(5-2 \sqrt{6})*t^2 \to t= \sqrt{\frac{160}{5-2 \sqrt{6}}}\approx 39.8 (c)$
Аналогичным образом для пути равного l найдем время, за которое первый вагон пройдет мимо наблюдателя:
$l= \frac{\frac{1}{8}(5-2 \sqrt{6})*l*t^2}{2}; \ 16=(5-2 \sqrt{6})*t^2 \to t= \sqrt{\frac{16}{5-2 \sqrt{6}}}\approx 12.6 (c)$