Question

За допомогою третього закону Кеплера знайдіть середню відстань Меркурію від Сонця, якщо період її обертання навколо Сонця 12 років. 1) 3,9 а.о. 2) 5,0 а.о. 3) 5,2 а.о. 4) 4,8 а.о. 5) 5,4 а.о.

Answer 1

Третій закон Кеплера говорить, що квадрат періоду обертання планети пропорційний кубу її середньої відстані до Сонця. Математично це можна записати так:

T^2 = (4π^2/ G * M) * a^3

де T - період обертання планети,

G - гравітаційна стала,

M - маса Сонця,

a - середня відстань планети до Сонця.

Знаючи період обертання Меркурія (T = 12 років), можна знайти його середню відстань до Сонця (a). Для цього необхідно розв'язати рівняння відносно a:

a^3 = (G * M * T^2) / (4π^2)

Значення гравітаційної сталої G та маси Сонця M є відомими сталими. Підставивши їх значення та період обертання Меркурія, отримуємо:

a^3 = (6.67 * 10^-11 N * m^2 / kg^2 * 1.99 * 10^30 kg * (12 * 365.25 * 24 * 60 * 60 s)^2) / (4π^2)

a^3 = 6.98 * 10^29

a = 4.75 а.о. (округлено до двох знаків після коми)

Отже, відповідь: 4) 4,8 а.о.

Answer 2

Для знаходження середньої відстані Меркурію від Сонця за допомогою третього закону Кеплера, нам необхідно використати формулу T^2 = k*a^3, де T - період обертання планети навколо Сонця, а a - середня відстань планети до Сонця.

У нашому випадку, період обертання Меркурію навколо Сонця дорівнює 12 рокам. Підставляючи це значення в формулу, отримуємо: 12^2 = k*a^3

Далі, ми можемо порівняти дану формулу з формулою для періоду обертання Землі навколо Сонця, який дорівнює 1 року, і середньої відстані Землі до Сонця, яка дорівнює приблизно 1 астрономічній одиниці (а.о.).

1^2 = k*1^3

Таким чином, встановлюється співвідношення k*a^3 = 1.

Тепер, ми можемо використати це співвідношення для знаходження середньої відстані Меркурію від Сонця. Підставляючи значення з варіантів відповіді до формули k*a^3 = 1, ми можемо перевірити, яка з відповідей є правильною.

1) 3,9 а.о. 2) 5,0 а.о. 3) 5,2 а.о. 4) 4,8 а.о. 5) 5,4 а.о.

Коли ми підставляємо значення 3,9 а.о. в формулу, ми отримуємо: k*(3,9)^3 = 1

Якщо ми розв'яжемо це рівняння для k, отримаємо: k = 1 / (3,9)^3

Тепер, ми можемо підставити це значення k в формулу для періоду обертання Меркурію (12^2 = k*a^3) і розв'язати рівняння для a.