Question

Конденсатор, расстояние между обкладками которого d = 2 см, находится заряженная частица массой m = 10 мг. Если на обкладки подать разность потенциалов U1 = 100 В, то частица падает с постоянной скоростью v1 = 0,2 мм/с. При разности потенциалов U2 = 300 В частица падает со скоростью v2 = 0,5 мм/с. Считая, что сила сопротивления, действующая на частицу со стороны воздуха в конденсаторе пропорциональна ее скорости, найдите заряд q частицы.

Answer 1

Ответ: 1.47*10^(-8) Кл

Объяснение:

1. В векторной форме: Fтр + mg = 0

Fтр1 - mg = 0

Fтр1 = kv1 => kv1 = mg => k = mg/v1

2.  В векторной форме: Fтр + Fк + mg = 0

Fтр2 + Fк - mg = 0

Fтр2 = kv2

Fк = qE = q(дельта U)/d

kv2 + q(дельта U)/d = mg

3. Из 1 и 2 => mgv2/v1 + q(дельта U)/d = mg

q(дельта U)/d = mg(1-v2/v1) => q = mgd(1-v2/v1)/(дельтаU)

q = [10^(-5) * 9,8 * 2 * 10^(-2) * (1 - 5*10^-4/2*10^-4)]/-200 = 1.47*10^(-8) Кл

Answer 2

Для начала, давайте определим уравнение движения частицы под воздействием силы сопротивления в воздухе. Сила сопротивления пропорциональна скорости и направлена против движения частицы. Математически это выглядит следующим образом:

$F_{\text{сопр}} = -bv,$

где $F_{\text{сопр}}$ - сила сопротивления, $b$ - коэффициент пропорциональности, $v$ - скорость частицы.

Сила сопротивления также можно выразить как произведение массы частицы $m$ на её ускорение $a$:

$F_{\text{сопр}} = ma.$

Скорость можно выразить через ускорение и время:

$v = at.$

Подставляя это выражение в уравнение для силы сопротивления, получаем:

$ma = -bt.$

Ускорение можно выразить как изменение скорости по времени:

$a = \frac{\Delta v}{\Delta t}.$

Подставляя это в уравнение, получаем:

$m \cdot \frac{\Delta v}{\Delta t} = -bt.$

Сокращая $m$ и переставляя переменные, получаем:

$\frac{\Delta v}{t} = -\frac{b}{m} \cdot v.$

Теперь мы получили дифференциальное уравнение, описывающее изменение скорости частицы с течением времени. Его решение будет:

$v(t) = v_0 \cdot e^{-\frac{b}{m} \cdot t},$

где $v_0$ - начальная скорость частицы.

Теперь давайте рассмотрим два случая: при подаче напряжения $U_1 = 100$ В и при подаче напряжения $U_2 = 300$ В.

1. Подача напряжения $U_1 = 100$ В: Известно, что при этом напряжении частица движется со скоростью $v_1 = 0,2$ мм/с, то есть $v_0 = 0,2$ мм/с.

2. Подача напряжения $U_2 = 300$ В: При этом напряжении частица движется со скоростью $v_2 = 0,5$ мм/с, то есть $v_0 = 0,5$ мм/с.

Теперь мы можем использовать эти значения $v_0$ и $v(t)$, чтобы найти коэффициент $b/m$:

$v(t) = v_0 \cdot e^{-\frac{b}{m} \cdot t}.$

$\frac{v(t)}{v_0} = e^{-\frac{b}{m} \cdot t}.$

$-\frac{b}{m} \cdot t = \ln \left(\frac{v(t)}{v_0}\right).$

$\frac{b}{m} = -\frac{1}{t} \ln \left(\frac{v(t)}{v_0}\right).$

Теперь мы можем использовать это выражение для $b/m$, чтобы найти заряд $q$ частицы. Сила сопротивления равна $F_{\text{сопр}} = -bv$, а сила сопротивления также можно выразить как $F_{\text{сопр}} = mg$, где $g$ - ускорение свободного падения.

$-bv = mg.$

$qE = mg,$

где $E$ - напряженность электрического поля между обкладками конденсатора. Напряженность поля связана с разностью потенциалов $U$ и расстоянием между обкладками $d$:

$E = \frac{U}{d}.$

Таким образом,

$q \cdot \frac{U}{d} = mg.$