Question

радиус рукояти колодезного ворота в k=4,0 раза больше радиуса вала, на который наматывается цепь. С какой глубины колодца равномерно поднимают ведро с водой, если модуль линейной скорости движения рукояти v=1,5 м/с, а промежуток времени подъема дельта t=16 c

Answer 1

Угловые скорости ворота и рукоятки совпадают (синхронно движутся).

V ворота= w ворота*r ворота
v рукоятки= w рукоятки* рукоятки

v ворота/ v рукоятки= r ворота/ r рукоятки

1,5/ v рукоятки= 4

v ворота= 0,375 м/с

h= 0,375*16= 6 м

Ответ: глубина колодца= 6 метров.

Answer 2

Для решения задачи необходимо использовать принцип сохранения энергии. Пусть h - глубина колодца, r - радиус вала, а R - радиус рукояти. Тогда скорость движения вала можно найти по формуле:

v = Rω,

где ω - угловая скорость вращения вала. С другой стороны, модуль линейной скорости на конце рукояти равен v, поэтому

v = ωR = 1,5 м/с.

Отсюда получаем:

ω = v/R = 1,5 / R рад/с.

Для нахождения работы, которую нужно совершить, чтобы поднять ведро на высоту h, воспользуемся формулой:

A = ΔE = ΔU + ΔK,

где A - работа, ΔE - изменение энергии системы (в данном случае системы "ведро + цепь"), ΔU - изменение потенциальной энергии, ΔK - изменение кинетической энергии.

Первоначально система находится в покое, поэтому ее кинетическая энергия равна нулю. Потенциальная энергия системы при подъеме ведра на высоту h равна

ΔU = mgh,

где m - масса ведра, g - ускорение свободного падения.

Радиус рукояти в k = 4,0 раза больше радиуса вала, поэтому

R = 4r.

Тогда угловая скорость вращения вала равна

ω = v/R = 1,5 / 4r рад/с.

Для нахождения глубины колодца h найдем работу, которую нужно совершить, чтобы поднять ведро на высоту h:

A = ΔU = mgh,

где m - масса ведра, g - ускорение свободного падения.

Заменим ΔU на mgh и подставим выражение для угловой скорости:

A = mgh = ΔK = (1/2)Iω²,

где I - момент инерции вала и цепи относительно оси вращения (в данном случае - оси вала).

Момент инерции цилиндра (вала) относительно оси, проходящей через его центр, равен (1/2)mr². Так как рукоятка представляет собой тонкий стержень, ее массой можно пренебречь. Момент инерции цепи можно выразить через массу m и радиус r:

I = (1/2)mr²