Question

Угол поворота шкива меняется за законом Фи= t^4-16t^3+90t^2+5. Найдите угловое ускорение Эпсилон (С^-2) шкива в момент времени t=1c Важная контрольная работа, отдаю все баллы

Answer 1

Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся с формулой, которая описывает изменение угла поворота шкива:

\[ \Phi(t) = t^4 - 16t^3 + 90t^2 + 5 \]

Здесь \(\Phi(t)\) - угол поворота шкива в момент времени \(t\).

Угловая скорость \(\omega(t)\) определяется как производная угла поворота по времени:

\[ \omega(t) = \frac{d\Phi}{dt} \]

А угловое ускорение \(\varepsilon(t)\) - это вторая производная угла поворота по времени:

\[ \varepsilon(t) = \frac{d^2\Phi}{dt^2} \]

Давайте найдем производные от данной функции и подставим значение \(t=1\):

1. Найдем первую производную \(\omega(t)\):

\[ \omega(t) = \frac{d\Phi}{dt} = 4t^3 - 48t^2 + 180t \]

2. Теперь найдем вторую производную \(\varepsilon(t)\), которая представляет собой угловое ускорение:

\[ \varepsilon(t) = \frac{d^2\Phi}{dt^2} = 12t^2 - 96t + 180 \]

Теперь подставим \(t=1\) в угловое ускорение:

\[ \varepsilon(1) = 12(1)^2 - 96(1) + 180 \]

\[ \varepsilon(1) = 12 - 96 + 180 \]

\[ \varepsilon(1) = 96 + 180 - 12 \]

\[ \varepsilon(1) = 264 \, \text{C}^{-2} \]

Таким образом, угловое ускорение шкива в момент времени \(t=1\) равно \(264 \, \text{C}^{-2}\).