Question

Решите неравенства a) x^3 – 81х ≤ 0 b) х^2 < 16 c) (х – 5)(х + 5) ≤ (х – 3)^2 + 2. d) x^2(х + 8) (х – 4)^3(х – 7) ≤ 0

Answer 1

a) Решим неравенство: x^3 – 81x ≤ 0.

Для начала, найдем точки, в которых выражение x^3 – 81x равно нулю. Это можно сделать, приравняв выражение к нулю и решив полученное уравнение:

x^3 – 81x = 0

x(x^2 – 81) = 0

Таким образом, получаем два возможных значения для x: x = 0 и x^2 – 81 = 0.

Решим второе уравнение:

x^2 – 81 = 0

(x + 9)(x – 9) = 0

Таким образом, получаем два дополнительных значения для x: x = -9 и x = 9.

Итак, у нас получилось три точки: x = -9, x = 0 и x = 9.

Теперь построим знаковую линию и проверим, в каких интервалах между этими точками неравенство выполняется.

-----(-9)-----0------(9)------

Возьмем тестовую точку в интервале между x = -9 и x = 0, например x = -5. Подставим ее в исходное неравенство:

(-5)^3 – 81(-5) ≤ 0

-125 + 405 ≤ 0

280 ≤ 0

Это неравенство не выполняется. Значит, в интервале между x = -9 и x = 0 неравенство не выполняется.

Теперь возьмем тестовую точку в интервале между x = 0 и x = 9, например x = 5. Подставим ее в исходное неравенство:

5^3 – 81(5) ≤ 0

125 - 405 ≤ 0

-280 ≤ 0

Это неравенство выполняется. Значит, в интервале между x = 0 и x = 9 неравенство выполняется.

Таким образом, решением неравенства x^3 – 81x ≤ 0 является интервал (-∞, 0] ∪ [9, +∞).

b) Решим неравенство: x^2 < 16.

Для начала, найдем корни квадратного уравнения x^2 – 16 = 0:

(x + 4)(x - 4) = 0

Таким образом, получаем два значения для x: x = -4 и x = 4.

Построим знаковую линию и проверим интервалы между этими точками.

-----(-4)-----0------(4)------

Возьмем тестовую точку в интервале между x = -4 и x = 0, например x = -2. Подставим ее в исходное неравенство:

(-2)^2 < 16

4 < 16

Это неравенство выполняется. Значит, в интервале между x = -4 и x = 0 неравенство выполняется.

Теперь возьмем тестовую точку в интервале между x = 0 и x = 4, например x = 2. Подставим ее в исходное неравенство:

2^2 < 16

4 < 16

Это неравенство выполняется. Значит, в интервале между x = 0 и x = 4 неравенство выполняется.

Таким образом, решением неравенства x^2 < 16 является интервал (-4, 4).

c) Решим неравенство: (x – 5)(x + 5) ≤ (x – 3)^2 + 2.

Раскроем скобки:

x^2 – 25 ≤ x^2 – 6x + 9 + 2.

Упростим:

-25 ≤ -6x + 11.

Перенесем все в одну сторону:

-6x - 25 ≤ 11.

-6x ≤ 36.

x ≥ -6.

Таким образом, решением неравенства (x – 5)(x + 5) ≤ (x – 3)^2 + 2 является интервал [-6, +∞).

d) Решим неравенство: x^2(x + 8) + (x – 4)^3(x – 7) ≤ 0.

Для начала, найдем корни квадратного уравнения x^2 + 8 = 0:

x^2 + 8 = 0.

x^2 = -8.

Уравнение не имеет действительных корней, так как нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа.

Теперь рассмотрим множитель (x – 4)^3(x – 7). Заметим, что это множитель всегда положителен или равен нулю, так как куб и квадрат всегда неотрицательны.

Таким образом, чтобы неравенство было выполнено, необходимо и достаточно, чтобы x^2 было меньше или равно нулю:

x^2 ≤ 0.

Это выполняется только при x = 0.

Таким образом, единственным решением неравенства x^2(x + 8) + (x – 4)^3(x – 7) ≤ 0 является x = 0.