Question

В треугольнике АВС даны АС=15, ВС=12 и угол С=120°. На стороне А взята точка К, причем АК:ВК =2:1. Найдите длину СК

Answer 1

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться теоремой синусов, так как у нас даны две стороны треугольника и угол между ними.

Теорема синусов гласит: в треугольнике со сторонами a, b и c, противолежащие углы обозначаются как A, B и C, соответственно, тогда справедливо:

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

В нашем случае, у нас даны стороны AC и BC, и угол C, мы хотим найти сторону CK.

Давайте обозначим стороны треугольника следующим образом: AC = a = 15 BC = b = 12 CK = c (что мы хотим найти)

Также, у нас известно, что AK:VK = 2:1. Это означает, что отношение длины стороны AK к длине стороны VK равно 2:1.

Мы можем обозначить длину стороны AK как 2x и длину стороны VK как x.

Теперь мы можем применить теорему синусов к треугольнику АКС:

AC/sin(C) = CK/sin(A)

Подставляя известные значения, получаем:

15/sin(120°) = c/sin(A)

sin(120°) = sqrt(3)/2 (из таблицы значений синусов)

Подставляя это значение, получаем:

15/(sqrt(3)/2) = c/sin(A)

15 * 2/sqrt(3) = c/sin(A)

30/sqrt(3) = c/sin(A)

Теперь, нам нужно найти sin(A). Мы можем использовать теорему синусов для треугольника ВКС:

BC/sin(C) = CK/sin(B)

Подставляя известные значения, получаем:

12/sin(120°) = c/sin(B)

sin(120°) = sqrt(3)/2 (из таблицы значений синусов)

Подставляя это значение, получаем:

12/(sqrt(3)/2) = c/sin(B)

12 * 2/sqrt(3) = c/sin(B)

24/sqrt(3) = c/sin(B)

Теперь у нас есть два уравнения:

30/sqrt(3) = c/sin(A)

24/sqrt(3) = c/sin(B)

Так как sin(A) = sin(B) = sin(120°) = sqrt(3)/2, мы можем сократить уравнения:

30/sqrt(3) = c/(sqrt(3)/2)

24/sqrt(3) = c/(sqrt(3)/2)

Мы можем упростить эти уравнения, умножив оба числителя и знаменателя на sqrt(3)/2:

(30/sqrt(3)) * (sqrt(3)/2) = c

(24/sqrt(3)) * (sqrt(3)/2) = c

Получаем:

30/2 = c

24/2 = c

15 = c

Таким образом, длина стороны CK равна 15.