Question

в правильной четырёхугольной призме abcda1b1c1d1 сторона основания равна 22, а боковое ребро AA1=7.точка K принадлежит ребру B1C1 и делит его в отношении 6:5, считая от вершины B1. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящая через точки B, D и K

Answer 1

Для решения задачи найдем координаты точек B1, C1, D и K, а затем воспользуемся формулой площади треугольника для нахождения площади сечения призмы.

1. Найдем координаты точек B1, C1 и D:

Поскольку ABCDA1B1C1D1 - четырёхугольная призма, и известны сторона основания (a = 22) и боковое ребро (AA1 = 7), то:

- Координаты точки A: (0, 0, 0) - Координаты точки B1: (22, 0, 0) (так как B1 лежит на оси X) - Координаты точки C1: (22, 7, 0) (так как C1 лежит на оси X и на боковом ребре) - Координаты точки D: (0, 7, 0) (так как D лежит на боковом ребре) - Также, координаты точек A1, B, C и D1 следующие: A1(0, 0, 1), B(0, 0, 0), C(22, 0, 0) и D1(22, 7, 1).

2. Найдем координаты точки K:

Из условия, точка K принадлежит ребру B1C1 и делит его в отношении 6:5, считая от вершины B1. Таким образом, координаты точки K можно найти по формуле:

\[ K(x, y, z) = \left(\frac{6}{11} \cdot x_{B1} + \frac{5}{11} \cdot x_{C1}, \frac{6}{11} \cdot y_{B1} + \frac{5}{11} \cdot y_{C1}, \frac{6}{11} \cdot z_{B1} + \frac{5}{11} \cdot z_{C1}\right) \]

Подставим значения:

\[ K = \left(\frac{6}{11} \cdot 22 + \frac{5}{11} \cdot 22, \frac{6}{11} \cdot 0 + \frac{5}{11} \cdot 7, \frac{6}{11} \cdot 0 + \frac{5}{11} \cdot 0\right) \] \[ K = (12 + 10, 0 + 5, 0) \] \[ K = (22, 5, 0) \]

3. Теперь найдем площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки B, D и K. Это можно сделать, используя формулу площади треугольника по координатам его вершин:

\[ S_{\text{сечения}} = \frac{1}{2} \cdot |x_B(y_D - y_K) + x_D(y_K - y_B) + x_K(y_B - y_D)| \]

Подставим значения:

\[ S_{\text{сечения}} = \frac{1}{2} \cdot |0(5 - 0) + 22(0 - 5) + 22(7 - 0)| \] \[ S_{\text{сечения}} = \frac{1}{2} \cdot |0 - 110 + 154| \] \[ S_{\text{сечения}} = \frac{1}{2} \cdot 44 \] \[ S_{\text{сечения}} = 22 \]

Таким образом, площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки B, D и K, равна 22 квадратным единицам.