Question

При скольких натуральных m дробь m^2+5m+6 и все это деленное на m является натуральным числом?

Answer 1

Рассмотрим данную дробь:

m^2 + 5m + 6 / m

Чтобы эта дробь была натуральным числом, необходимо и достаточно, чтобы числитель был кратен знаменателю.

То есть, для данного случая, чтобы m^2 + 5m + 6 было кратно m.

Разложим числитель на множители:

m^2 + 5m + 6 = (m + 3)(m + 2)

Теперь, чтобы (m + 3)(m + 2) было кратно m, необходимо, чтобы m делилося на (m + 3) и (m + 2).

Мы знаем, что если делимое нечетное, а делитель четный, то остаток от деления всегда будет нечетным числом.

Это означает, что m + 3 и m + 2 должны быть четными числами, чтобы между ними можно было разместить число m, которое будет их кратным.

Таким образом, m должно быть числом, которое больше на 3 и на 2, то есть m >= 5.

Значит, при любом натуральном m, большем или равном 5, дробь m^2 + 5m + 6 / m будет являться натуральным числом.