Question

Найдите наибольшую степень двойки, на которую делится 20^2018-16^1009 В качестве ответа приведите показатель в степени двойки.  Указание. Рассмотрите последние три цифры 5^k при различных натуральных k.

Answer 1

Для того, чтобы найти наибольшую степень двойки, на которую делится 20^2018-16^1009, нужно сначала привести это выражение к более простому виду. Для этого можно воспользоваться свойствами степеней и разности квадратов:

20^2018-16^1009 = (2^2*5)^2018 - (2^4)^1009 = 2^4036*5^2018 - 2^4036 = 2^4036*(5^2018-1)

Теперь нужно рассмотреть скобку (5^2018-1) и понять, на какую степень двойки она делится. Для этого можно заметить, что последние три цифры числа 5^k при различных натуральных k образуют периодическую последовательность: 005, 025, 125, 625, 125, 625, ... . Это значит, что число 5^k делится на 2^m тогда и только тогда, когда k заканчивается на m. Например, 5^3 делится на 2^3, 5^5 делится на 2^5, 5^7 делится на 2^7 и т.д.

В нашем случае k = 2018, поэтому число 5^2018 делится на 2^18. Тогда число 5^2018-1 делится на 2^18-1, то есть на 2^17. Это можно показать, используя формулу разности квадратов и нечетных степеней:

5^2018-1 = (5^1009-1)(5^1009+1) = (5-1)(5^1008+5^1007+...+1)(5+1)(5^1008-5^1007+...+1)

В этом произведении первый множитель (5-1) делится на 2^2, второй множитель (5^1008+5^1007+...+1) делится на 2^9, так как он является суммой 512 слагаемых, а третий множитель (5+1) делится на 2^1. Четвертый множитель (5^1008-5^1007+...+1) не делится на 2, так как он имеет вид 5^1008-5^1007+...+1 = 5^1007*(5-1)+5^1006*(5-1)+...+1 = 4*(5^1007+5^1006+...+1)+1. Поэтому наибольшая степень двойки, на которую делится 5^2018-1, равна 2^2*2^9*2^1 = 2^17.

Итак, мы получили, что 20^2018-16^1009 = 2^4036*(5^2018-1) делится на 2^4036*2^17 = 2^4053. Это и есть наибольшая степень двойки, на которую делится данное выражение. Ответ: 4053.