Question

Дано: А(-12;-4) В(-5;6) С(0;3) Найти: а) Вектор Вс б) |АВ|=? в) середина АС г) Р треугольника АВС=? д) медиана ВМ?

Answer 1

Давайте по порядку решим каждый из пунктов задачи.

а) Вектор \( \vec{AB} \): Вектор задается разностью координат конечной точки и начальной точки. Для нахождения вектора \( \vec{AB} \), вычитаем координаты начальной точки \( A(-12, -4) \) из координат конечной точки \( B(-5, 6) \):

\[ \vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (-5 - (-12), 6 - (-4)) = (7, 10) \]

б) Длина вектора \( \vec{AB} \) (модуль вектора \( \vec{AB} \)): Длина вектора \( \vec{AB} \) вычисляется по формуле:

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{ (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 } \]

Подставляем координаты точек \( A \) и \( B \):

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{ (7)^2 + (10)^2 } = \sqrt{49 + 100} = \sqrt{149} \]

в) Середина отрезка \( AC \): Координаты середины отрезка между двумя точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) вычисляются по формулам:

\[ \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \]

В данном случае координаты середины отрезка \( AC \) будут:

\[ \left( \frac{-12 + 0}{2}, \frac{-4 + 3}{2} \right) = (-6, -0.5) \]

г) Р - точка пересечения медиан треугольника \( ABC \): Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Точка пересечения медиан называется центром масс треугольника или барицентром. Формулы для нахождения координат точки пересечения медиан:

\[ x = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \quad y = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \]

Подставляем координаты точек \( A(-12, -4) \), \( B(-5, 6) \), и \( C(0, 3) \):

\[ x = \frac{-12 - 5 + 0}{3} = -17/3, \quad y = \frac{-4 + 6 + 3}{3} = 5/3 \]

Точка \( P \) будет иметь координаты \( (-17/3, 5/3) \).

д) Медиана \( BM \): Медиана проводится из вершины треугольника к середине противоположной стороны. Так как мы уже нашли середину отрезка \( AC \), теперь найдем вектор \( \vec{BM} \), который будет направлен от точки \( B \) к точке \( M \):

\[ \vec{BM} = \vec{M} - \vec{B} = (-6, -0.5) - (-5, 6) = (-1, -6.5) \]

Это вектор, проведенный от точки \( B \) к середине стороны \( AC \).