Question

Найдите все функции f(x), определенные при всех действительных х, такие, что f(x)+f(1-x)=x^2.

Answer 1

Для нахождения всех функций f(x), удовлетворяющих условию f(x)f(1-x) = x^2 для всех действительных x, мы можем применить следующий подход:

1. Подставим x=0 в исходное уравнение: f(0)f(1-0) = 0^2, получаем f(0)f(1) = 0. Из этого уравнения следует, что либо f(0) = 0, либо f(1) = 0, или оба равны нулю.

2. Далее, рассмотрим случай, когда f(0) = 0. Подставим x=1 в исходное уравнение: f(1)f(1-1) = 1^2, получаем f(1)f(0) = 1. Из этого уравнения следует, что f(1) ≠ 0.

Таким образом, функция f(x) не может быть равна нулю при всех x.

3. Рассмотрим случай, когда f(1) = 0. Подставим x=0 в исходное уравнение: f(0)f(1-0) = 0^2, получаем f(0)f(1) = 0. Из этого уравнения следует, что f(0) = 0.

Таким образом, функция f(x) = 0 при x=0 и f(x) = 0 при x=1 является одной из возможных функций.

4. Рассмотрим случай, когда f(0) ≠ 0 и f(1) ≠ 0. Тогда можно относительно безопасно делить обе части исходного уравнения на f(x)f(1-x). Получим f(x)f(1-x) / (f(x)f(1-x)) = x^2 / (f(x)f(1-x)). Сокращаем сокращаемые элементы, получаем 1 = x^2 / (f(x)f(1-x)).

Таким образом, функция f(x) должна удовлетворять свойству: 1 = x^2 / (f(x)f(1-x)) для всех действительных x.

Итак, все функции f(x), удовлетворяющие условию f(x)f(1-x) = x^2 для всех действительных x, могут быть следующими:

1. f(x) = 0 при x=0 и f(x) = 0 при x=1. 2. f(x), которые удовлетворяют свойству: 1 = x^2 / (f(x)f(1-x)) для всех действительных x. Здесь много возможных решений, например, f(x) = 1/x^2 или f(x) = 1/x.