Question

Вася взял карточки с числами 1,2,3,…,30,31 и расставил их в ряд в некотором порядке. Затем для каждого числа нашёл сумму этого числа и номер места, на котором оно стоит. Оказалось, что все найденные суммы имеют только три значения. Могут ли у Васи все эти три значения оказаться простыми числами? (При положительном ответе, приведите примеры) Простое число – это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя – единицу и самого себя.

Answer 1

Да, у Васи все три значения могут оказаться простыми числами.

Для решения задачи, рассмотрим сумму чисел и их позиций:

1 + 1 = 2 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 4 + 4 = 8 ... 29 + 29 = 58 30 + 30 = 60 31 + 31 = 62

Мы видим, что все суммы, кроме первых двух, являются четными числами. Однако, простые числа больше 2 всегда являются нечетными, так как они не делятся на 2 без остатка.

Итак, вариант, когда все три значения являются простыми числами, возможен только если две из сумм будут равны 2 и 2 + 2 = 4. Но, так как сумма числа и позиции числа всегда будет больше самого числа, невозможно, чтобы сумма была равна 2.

Следовательно, у Васи невозможно, чтобы все три значения были простыми числами.