Question

Найти y' и y'' y^2-x=cosy

Answer 1

Чтобы найти y' и y'', необходимо взять производные уравнения y^2 - x = cos(y) по переменной x.

Дифференцируем обе части уравнения по x: d/dx (y^2 - x) = d/dx (cos(y))

Для простоты обозначим y^2 - x как f(x) и cos(y) как g(x).

Тогда получим: d/dx (f(x)) = d/dx (g(x))

Теперь найдем производную функции f(x): d/dx (f(x)) = d/dx (y^2 - x)

По правилу дифференцирования сложной функции, производная от y^2 будет равна 2y * y', а производная от -x будет равна -1: d/dx (f(x)) = 2y * y' - 1

Аналогично, найдем производную функции g(x): d/dx (g(x)) = d/dx (cos(y))

По правилу дифференцирования сложной функции, производная от cos(y) будет равна -sin(y) * y': d/dx (g(x)) = -sin(y) * y'

Теперь подставим полученные значения производных в исходное уравнение: 2y * y' - 1 = -sin(y) * y'

Теперь нам нужно найти y' и y''. Для этого можно использовать полученное уравнение.

Выразим y' из уравнения: 2y * y' - 1 = -sin(y) * y' 2y * y' + sin(y) * y' = 1 y' * (2y + sin(y)) = 1 y' = 1 / (2y + sin(y))

Теперь найдем y''. Для этого продифференцируем полученное выражение для y': y'' = d/dx (y') = d/dx (1 / (2y + sin(y)))

По правилу дифференцирования сложной функции, получаем: y'' = -(2y' + sin(y)) / ((2y + sin(y))^2)

Таким образом, мы нашли y' и y'':

y' = 1 / (2y + sin(y)) y'' = -(2y' + sin(y)) / ((2y + sin(y))^2)