Question

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O - центр основания, S вершина, SO=10, BD=48. Найдите площадь боковой и полной поверхности пирамиды.

Answer 1

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами правильной четырехугольной пирамиды и теоремой Пифагора.

1. Площадь боковой поверхности (Sб):

В правильной четырехугольной пирамиде боковые треугольники равнобедренные, так как боковые грани равны. Также, они являются прямоугольными треугольниками, так как основание правильной пирамиды - квадрат.

Обозначим основание квадрата ABCD, где AB=BC=CD=DA=a. Точка O - центр основания, S - вершина пирамиды.

Таким образом, треугольник SAB является прямоугольным равнобедренным треугольником. Мы знаем, что SO=10, а BD=48. Значит, AO=BO=CO=DO=a/2, так как O - центр квадрата, а треугольник SAB прямоугольный, следовательно, AO=BO=CO=DO.

Теперь можем применить теорему Пифагора к треугольнику SAB:

\[SA^2 = SO^2 + OA^2\] \[SA^2 = 10^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\] \[SA^2 = 100 + \frac{a^2}{4}\] \[SA^2 = \frac{4a^2 + a^2}{4}\] \[SA^2 = \frac{5a^2}{4}\] \[SA = \frac{a\sqrt{5}}{2}\]

Теперь можем выразить боковую сторону треугольника SAB через сторону квадрата:

\[BA = \frac{a\sqrt{5}}{2}\]

Так как у нас четыре одинаковых боковых треугольника, то площадь боковой поверхности будет:

\[Sб = 4 \times \frac{1}{2} \times BA \times SO = 2 \times a \times \frac{a\sqrt{5}}{2} \times 10 = 5a^2\sqrt{5}\]

2. Площадь полной поверхности (Sп):

Площадь полной поверхности равна сумме площади боковой поверхности и площади основания (площади квадрата ABCD).

\[Sп = Sб + Sосн\]

Площадь основания:

\[Sосн = a^2\]

Таким образом,

\[Sп = 5a^2\sqrt{5} + a^2\]

3. Подставим значение a:

\[Sп = 5 \times 48^2\sqrt{5} + 48^2\]

\[Sп = 1152\sqrt{5} + 2304\]

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна \(5a^2\sqrt{5}\), а площадь полной поверхности пирамиды равна \(1152\sqrt{5} + 2304\).