Question

Сколько имеется прямоугольных треугольников, длины сторон которых выражаются целыми числами, если один из катетов этих треугольников равен 15?

Answer 1

Чтобы найти количество прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами, включающих катет равный 15, давайте воспользуемся формулой Пифагора.

В прямоугольном треугольнике теорема Пифагора гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2,\]

где \(c\) - гипотенуза, \(a\) и \(b\) - катеты.

Если один из катетов равен 15, то у нас есть:

\[c^2 = 15^2 + b^2.\]

Для целочисленных значений катета \(b\), нам нужно найти все возможные тройки чисел \((c, b, 15)\), где \(c\) - целое число.

Рассмотрим несколько вариантов:

1. \(c = 17\): \[17^2 = 15^2 + b^2,\] \[289 = 225 + b^2,\] \[b^2 = 64,\] \[b = 8.\]

Таким образом, одна тройка чисел \((17, 15, 8)\) удовлетворяет условиям.

2. \(c = 20\): \[20^2 = 15^2 + b^2,\] \[400 = 225 + b^2,\] \[b^2 = 175.\]

Здесь нет целочисленного значения для \(b\), так как \(\sqrt{175}\) не является целым числом.

3. \(c = 25\): \[25^2 = 15^2 + b^2,\] \[625 = 225 + b^2,\] \[b^2 = 400,\] \[b = 20.\]

Таким образом, еще одна тройка чисел \((25, 15, 20)\) удовлетворяет условиям.

Таким образом, мы нашли две тройки чисел \((17, 15, 8)\) и \((25, 15, 20)\), соответственно. Таким образом, имеется два прямоугольных треугольника с катетом, равным 15, и целочисленными сторонами.