Question

Помогите решить неопределенный интеграл ∫(2-4x) sin2x dx

Answer 1

Давайте решим данный неопределенный интеграл:

\[ \int (2-4x) \sin(2x) \,dx \]

Для этого воспользуемся методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид:

\[ \int u \,dv = uv - \int v \,du \]

Выберем функции \(u\) и \(dv\) следующим образом:

\[ u = (2-4x) \quad \text{и} \quad dv = \sin(2x) \,dx \]

Теперь вычислим их дифференциалы:

\[ du = -4 \,dx \quad \text{и} \quad v = -\frac{1}{2} \cos(2x) \]

Теперь можем применить формулу интегрирования по частям:

\[ \int (2-4x) \sin(2x) \,dx = uv - \int v \,du \]

\[ = (2-4x) \left(-\frac{1}{2} \cos(2x)\right) - \int \left(-\frac{1}{2} \cos(2x)\right) (-4 \,dx) \]

\[ = -\frac{1}{2}(2-4x)\cos(2x) + 2 \int \cos(2x) \,dx \]

Теперь проинтегрируем последний интеграл по \( \cos(2x) \):

\[ = -\frac{1}{2}(2-4x)\cos(2x) + 2 \left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right) + C \]

где \( C \) - константа интегрирования.

Таким образом, окончательный ответ:

\[ \int (2-4x) \sin(2x) \,dx = -\frac{1}{2}(2-4x)\cos(2x) + \sin(2x) + C \]

где \( C \) - произвольная константа.