Question

Биссектриса угла А треугольника АВС делит сторону ВС  пополам. Найдите сторону Вс, если АС=6, а периметр тругольника АВС равен 20.

Answer 1

Давайте обозначим стороны треугольника \(ABC\): \(AB\), \(BC\), и \(CA\) через \(a\), \(b\), и \(c\) соответственно. Пусть также \(BD\) - биссектриса угла \(A\), где \(D\) - точка пересечения биссектрисы с отрезком \(BC\).

Мы знаем, что биссектриса делит сторону противолежащую углу \(A\) (то есть сторону \(BC\)) в отношении длин \(BD\) и \(DC\) (или \(a\)).

Теперь у нас есть следующие данные: \[AC = 6, \quad BD = DC = x, \quad AB = a, \quad BC = b, \quad CA = c.\]

Из условия мы также знаем, что периметр треугольника \(ABC\) равен 20: \[AB + BC + CA = a + b + c = 20.\]

Также мы можем использовать теорему о биссектрисе: \[\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}.\]

Подставим известные значения: \[\frac{x}{x} = \frac{a}{6}.\]

Отсюда мы получаем, что \(a = 6\).

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными: \[\begin{align*} a + b + c &= 20, \\ a &= 6. \end{align*}\]

Подставим значение \(a\) в первое уравнение: \[6 + b + c = 20.\]

Отсюда получаем, что \(b + c = 14\). Так как мы знаем, что \(a = 6\), то мы можем записать выражение для периметра как: \[6 + (b + c) = 20.\]

Теперь решим уравнение относительно \(b + c\): \[b + c = 14.\]

Таким образом, сторона \(BC\) равна 14.