Question

Найти площадь фигуры ограниченной линиями у=(1/2)х^2 у=-х

Answer 1

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, необходимо сначала определить точки их пересечения. Затем мы можем вычислить площадь фигуры, используя определенные границы интеграции.

Данная фигура ограничена двумя линиями: у = (1/2)x^2 и у = -x.

Шаг 1: Найдем точки пересечения

Чтобы найти точки пересечения, приравняем уравнения:

(1/2)x^2 = -x

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

x^2 = -2x

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

x^2 + 2x = 0

Факторизуем левую часть уравнения:

x(x + 2) = 0

Отсюда получаем два возможных значения x: x = 0 и x = -2.

Подставим эти значения обратно в уравнение, чтобы найти соответствующие значения y:

Для x = 0:

у = (1/2)(0)^2 = 0

Для x = -2:

у = (1/2)(-2)^2 = 2

Таким образом, точки пересечения линий - это (0, 0) и (-2, 2).

Шаг 2: Вычислим площадь фигуры

Теперь, когда мы знаем точки пересечения, мы можем вычислить площадь фигуры. Для этого мы будем использовать определенный интеграл.

Площадь фигуры можно вычислить как разность интегралов уравнений, ограничивающих фигуру:

Площадь = ∫[a, b] (у2 - у1) dx

где у1 и у2 - уравнения, ограничивающие фигуру, а [a, b] - границы интегрирования, которые определяются точками пересечения.

В нашем случае, у1 = (1/2)x^2 и у2 = -x, а границы интегрирования -2 и 0.

Подставим значения уравнений и границ интегрирования в формулу для площади:

Площадь = ∫[-2, 0] ((1/2)x^2 - (-x)) dx

Вычислим этот интеграл:

Площадь = ∫[-2, 0] ((1/2)x^2 + x) dx

= [((1/6)x^3 + (1/2)x^2)] [-2, 0]

= ((1/6)(0)^3 + (1/2)(0)^2) - ((1/6)(-2)^3 + (1/2)(-2)^2)

= 0 - (-8/3)

= 8/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями у = (1/2)x^2 и у = -x, составляет 8/3 квадратных единиц.