Question

1. Упростить выражение а) 5√2 + 2√32 - √98 б) (4√3 + √27) √3 в) (√5 - √3)² 2. Сравните 1/2√28 и 1/3√54 3. Сократите дробь а) √10+5 / 2+√10 б) х-3√х / 2√х-5 4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе а) 7 / 2√21 б) 22 / √13-2 5. Докажите, что значение выражения есть число рациональное 1 \ 3+√15 + 1 / 3-√15 Очень нужно, и если можно, по-подробнее пожалуйста

Answer 1

Давайте рассмотрим каждое из ваших выражений по очереди:

1. Упростить выражение: а) \(5\sqrt{2} + 2\sqrt{32} - \sqrt{98}\)

Для упрощения выражения используем свойство корней. Сначала разложим корень из чисел, представленных под корнем:

\(2\sqrt{32} = 2\sqrt{2 \times 16} = 2 \times 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\)

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\(5\sqrt{2} + 8\sqrt{2} - \sqrt{98}\)

Сгруппируем подобные слагаемые:

\(13\sqrt{2} - \sqrt{98}\)

Теперь разложим корень из 98:

\(13\sqrt{2} - \sqrt{2 \times 49} = 13\sqrt{2} - 7\sqrt{2}\)

Сгруппируем снова:

\(6\sqrt{2}\)

Таким образом, упрощенное выражение равно \(6\sqrt{2}\).

б) \((4\sqrt{3} + \sqrt{27})\sqrt{3}\)

Разложим корень из 27:

\(4\sqrt{3} + 3\sqrt{3}\)

Сгруппируем подобные слагаемые:

\(7\sqrt{3}\)

в) \((\sqrt{5} - \sqrt{3})^2\)

Раскроем квадрат:

\((\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})\)

Раскроем скобки:

\(\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}\)

\(5 - 2\sqrt{15} + 3\)

\(8 - 2\sqrt{15}\)

2. Сравнить \( \frac{1}{2\sqrt{28}} \) и \( \frac{1}{3\sqrt{54}} \):

Разложим знаменатели:

\(\frac{1}{2\sqrt{2 \times 2 \times 7}}\) и \(\frac{1}{3\sqrt{2 \times 3 \times 3 \times 2}}\)

Упростим:

\(\frac{1}{4\sqrt{7}}\) и \(\frac{1}{18\sqrt{2}}\)

Чтобы сравнить их, найдем общий знаменатель:

\(\frac{1}{4\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{14}}\)

Теперь оба выражения имеют общий знаменатель:

\(\frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{14}}\) и \(\frac{1}{18\sqrt{2}}\)

Умножим первое выражение на \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\):

\(\frac{2}{8\sqrt{14}}\) и \(\frac{1}{18\sqrt{2}}\)

Теперь у нас есть общий знаменатель:

\(\frac{2}{8\sqrt{14}}\) и \(\frac{1}{18\sqrt{2}}\)

После умножения обоих числителей на 9 получим:

\(\frac{9}{36\sqrt{14}}\) и \(\frac{9}{36\sqrt{14}}\)

Таким образом, \( \frac{1}{2\sqrt{28}} = \frac{1}{3\sqrt{54}}\).

3. Сократить дробь: а) \( \frac{\sqrt{10} + 5}{2\sqrt{10}} \)

Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{10}\):

\( \frac{(\sqrt{10} + 5)\sqrt{10}}{2\sqrt{10}\sqrt{10}} \)

Упростим:

\( \frac{\sqrt{10}(\sqrt{10} + 5)}{2 \times 10} \)

\( \frac{\sqrt{10}(\sqrt{10} + 5)}{20} \)

б) \( \frac{x - 3\sqrt{x}}{2\sqrt{x} - 5} \)

Умножим числитель и знаменатель на \((2\sqrt{x} + 5)\):

\( \frac{(x - 3\sqrt{x})(2\sqrt{x} + 5)}{(2\sqrt{x} - 5)(2\sqrt{x} + 5)} \)

Раскроем скобки:

\( \frac{2x\sqrt{x} + 5x - 6x - 15\sqrt{x}}{4x - 25} \)

Упростим:

\( \frac{5x - 15\sqrt{x}}{4x - 25} \)

4. Освободить дробь от знака корня в знаменателе: а) \( \frac{7}{2\sqrt{21}} \)

Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{21}\):

\( \frac{7\sqrt{21}}{2\sqrt{21}\sqrt{21}} \)

\( \frac{7\sqrt{21}}{2 \times 21} \)

\( \frac{7\sqrt{21}}{42} \)

б) \( \frac{22}{\sqrt{13} - 2} \)

Умножим числитель и знаменатель на \((\sqrt{13} + 2)\):

\( \frac{22(\sqrt{13} + 2)}{(\sqrt{13} - 2)(\sqrt{13} + 2)} \)

Раскроем скобки:

\( \frac{22\sqrt{13