Question

1)Найдите углы ромбабесли его диагонали равны 2√3 и 2. 2)Найдите расстояние между точками: а) А(-1;4) и В(5;-4); в)С(3;8) и D(-1;5); г) К(5;-3) и L(-1;0).

Answer 1

1) Найдите углы ромба, если его диагонали равны \(2\sqrt{3}\) и \(2\).

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Обозначим половину длины первой диагонали как \(a\) и половину длины второй диагонали как \(b\).

\[a = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{3}\]

\[b = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1\]

Теперь, мы можем использовать теорему косинусов для нахождения углов ромба. Пусть \(\theta\) - угол между диагоналями, тогда:

\[a^2 + b^2 - 2ab \cos(\theta) = c^2\]

где \(c\) - сторона ромба (все стороны ромба равны).

\[\theta = \cos^{-1}\left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)\]

В данном случае \(c = 2\) (половина второй диагонали).

\[\theta = \cos^{-1}\left(\frac{(\sqrt{3})^2 + 1^2 - 2^2}{2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1}\right)\]

\[\theta = \cos^{-1}\left(\frac{3 + 1 - 4}{2 \sqrt{3}}\right)\]

\[\theta = \cos^{-1}\left(\frac{0}{2 \sqrt{3}}\right)\]

\[\theta = \cos^{-1}(0)\]

\[\theta = \frac{\pi}{2}\]

Таким образом, все углы ромба равны \(90^\circ\).

2) Найдите расстояние между точками:

а) \(A(-1;4)\) и \(B(5;-4)\)

Расстояние между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) на плоскости можно найти с использованием формулы расстояния между двуми точками в декартовой системе координат:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

В данном случае:

\[d = \sqrt{(5 - (-1))^2 + ((-4) - 4)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\]

Таким образом, расстояние между точками \(A\) и \(B\) равно \(10\).

в) \(C(3;8)\) и \(D(-1;5)\)

\[d = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (5 - 8)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\]

г) \(K(5;-3)\) и \(L(-1;0)\)

\[d = \sqrt{(-1 - 5)^2 + (0 - (-3))^2} = \sqrt{(-6)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\]

Таким образом, расстояние между точками:

а) \(10\)

в) \(5\)

г) \(3\sqrt{5}\)