Question

Интеграл dx+5/(x^2-2x+7)dx

Answer 1

Для решения данного интеграла, мы можем воспользоваться методом частных дробей. Давайте разложим дробь на простейшие дроби.

Для начала, факторизуем знаменатель: x^2 - 2x + 7 = (x - 1)^2 + 6

Теперь мы можем разложить 5/(x^2 - 2x + 7) на простейшие дроби следующим образом:

5/(x^2 - 2x + 7) = A/(x - 1) + B/(x - 1)^2 + C/(x^2 + 6)

Мы разделили на простейшие дроби, так как степень многочлена в числителе (1) меньше степени многочлена в знаменателе (2).

Теперь найдем значения A, B и C.

Для этого умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

5 = A(x - 1)(x^2 + 6) + B(x^2 + 6) + C(x - 1)^2

Теперь подставим значения x, чтобы найти значения коэффициентов:

При x = 1: 5 = A(1 - 1)(1^2 + 6) + B(1^2 + 6) + C(1 - 1)^2 5 = 7B

При x = 0: 5 = A(0 - 1)(0^2 + 6) + B(0^2 + 6) + C(0 - 1)^2 5 = -A + 6B + C

При x = -√6: 5 = A(-√6 - 1)((-√6)^2 + 6) + B((-√6)^2 + 6) + C(-√6 - 1)^2 5 = -2A + 6B - √6C

Решая эти уравнения, мы получаем следующие значения:

A = 0 B = 5/7 C = 5/7√6

Теперь мы можем заменить исходный интеграл на сумму интегралов простейших дробей:

∫(5/(x^2 - 2x + 7))dx = ∫(0/(x - 1))dx + ∫((5/7)/(x - 1)^2)dx + ∫((5/7√6)/(x^2 + 6))dx

Первый интеграл равен нулю, так как A = 0.

Для второго интеграла, мы можем использовать формулу интеграла обратной степени:

∫(1/(x - a)^n)dx = (1/(n-1))*(1/(x - a)^(n-1))

В нашем случае, a = 1 и n = 2:

∫((5/7)/(x - 1)^2)dx = (5/7)*∫(1/(x - 1)^2)dx = (5/7)*(-1/(x - 1))

Для третьего интеграла, мы можем использовать формулу интеграла обратного тригонометрического функции:

∫(1/(x^2 + a^2))dx = (1/a)*arctan(x/a)

В нашем случае, a = √6:

∫((5/7√6)/(x^2 + 6))dx = (5/7√6)*∫(1/(x^2 + 6))dx = (5/7√6)*(1/√6)*arctan(x/√6)

Теперь мы можем записать окончательный ответ:

∫(5/(x^2 - 2x + 7))dx = (5/7)*(-1/(x - 1)) + (5/7√6)*(1/√6)*arctan(x/√6) + C

где C - постоянная интегрирования.