Question

В случайном эксперименте монету бросают трижды . Найти вероятность того, что орел выпадет не более двух раз.

Answer 1

Для решения этой задачи можно воспользоваться биномиальным распределением, так как мы имеем дело с повторяющимися независимыми испытаниями (бросками монеты), где каждый бросок может закончиться успехом (выпадением орла) или неудачей (выпадением решки).

Вероятность успеха в одном испытании (выпадение орла) обозначим как \( p \), а вероятность неудачи (выпадение решки) как \( q \). Так как у нас требуется найти вероятность того, что орел выпадет не более двух раз, мы рассмотрим три возможных случая: 0 орлов, 1 орел и 2 орла.

1. Ни одного орла (\( P(X = 0) \)): \[ P(X = 0) = C(3,0) \cdot p^0 \cdot q^3 \]

2. Ровно один орел (\( P(X = 1) \)): \[ P(X = 1) = C(3,1) \cdot p^1 \cdot q^2 \]

3. Ровно два орла (\( P(X = 2) \)): \[ P(X = 2) = C(3,2) \cdot p^2 \cdot q^1 \]

Таким образом, вероятность того, что орел выпадет не более двух раз, равна сумме вероятностей этих трех случаев:

\[ P(\text{"не более 2 орлов"}) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]

где \( C(n, k) \) - биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Подставим значения и рассчитаем:

\[ P(\text{"не более 2 орлов"}) = C(3,0) \cdot p^0 \cdot q^3 + C(3,1) \cdot p^1 \cdot q^2 + C(3,2) \cdot p^2 \cdot q^1 \]

Учитывая, что \( p = \frac{1}{2} \) (вероятность выпадения орла) и \( q = \frac{1}{2} \) (вероятность выпадения решки), мы можем преобразовать выражение и рассчитать вероятность.