Question

Можно ли расставить числа от 1 до 2016 по кругу так, чтобы любое из них делилось на разность своих соседей?

Answer 1

Ответ: Нет, нельзя. Объяснение: Пусть x, y, z — три соседних числа по кругу. Тогда, чтобы y делилось на разность своих соседей, необходимо, чтобы выполнялось условие:

y = k (x - z), где k — некоторое целое число.

Но тогда, если мы продолжим расставлять числа по кругу, то получим, что каждое число будет кратно предыдущему и следующему. Например, если x = 1, y = 2, z = 3, то следующее число должно быть 4, чтобы 3 делилось на 4 - 2. Но тогда 4 не делится на 3 - 1, противоречие. Аналогично, если x = 1, y = 3, z = 2, то следующее число должно быть 6, чтобы 2 делилось на 6 - 3. Но тогда 6 не делится на 3 - 1, противоречие.

Таким образом, мы не сможем расставить все числа от 1 до 2016 по кругу так, чтобы любое из них делилось на разность своих соседей.