Question

Log(2) x+log (2) (x-6)=4 помогите пожалуйста

Answer 1

Конечно, давайте решим уравнение \( \log_2(x) + \log_2(x-6) = 4 \). Для удобства, давайте использовать свойство логарифмов, согласно которому \(\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)\). Применим это свойство к уравнению:

\[ \log_2(x) + \log_2(x-6) = \log_2(x \cdot (x-6)) = 4 \]

Теперь у нас есть уравнение:

\[ \log_2(x \cdot (x-6)) = 4 \]

Теперь преобразим его в экспоненциальную форму: если \(\log_a(b) = c\), то это означает \(a^c = b\). Применим это к нашему уравнению:

\[ 2^4 = x \cdot (x-6) \]

Вычислим значение \(2^4\):

\[ 16 = x \cdot (x-6) \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Распишем его и приведем к стандартной форме \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[ x^2 - 6x - 16 = 0 \]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Можно воспользоваться квадратным корнем или формулой дискриминанта:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В данном случае, у нас \(a = 1\), \(b = -6\), и \(c = -16\). Подставим эти значения в формулу:

\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16)}}{2 \cdot 1} \]

\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2} \]

\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{100}}{2} \]

\[ x = \frac{6 \pm 10}{2} \]

Таким образом, получаем два значения:

1. \( x = \frac{6 + 10}{2} = 8 \) 2. \( x = \frac{6 - 10}{2} = -2 \)

Проверим оба значения, подставив их в исходное уравнение:

1. При \( x = 8 \):

\[ \log_2(8) + \log_2(8-6) = 3 + 1 = 4 \]

Уравнение выполняется.

2. При \( x = -2 \):

\[ \log_2(-2) + \log_2(-2-6) \]

Логарифм от отрицательного числа не определен в обычных вещественных числах, поэтому это решение не подходит.

Таким образом, корень уравнения \( \log_2(x) + \log_2(x-6) = 4 \) равен \( x = 8 \).