Question

ПОЖАЛУЙСТА ПОМОГИТЕ. периметр правильного четырехугольника вписанного в окружность на 16*(корень из двух-1) меньше периметра правильного четырехугольника описанного около этой же окружности. Найдите радиус

Answer 1

Давайте обозначим периметр вписанного четырехугольника через \( P_1 \) и периметр описанного четырехугольника через \( P_2 \). Тогда у нас есть следующее соотношение:

\[ P_1 = P_2 - 16(\sqrt{2} - 1) \]

Поскольку мы имеем дело с правильными четырехугольниками, периметр можно выразить через длину стороны (\( s \)) и количество сторон (\( n \)):

\[ P_1 = ns_1 \] \[ P_2 = ns_2 \]

Здесь \( s_1 \) - длина стороны вписанного четырехугольника, \( s_2 \) - длина стороны описанного четырехугольника.

Из соотношения между периметрами мы можем получить выражение для длины стороны вписанного четырехугольника:

\[ ns_1 = ns_2 - 16(\sqrt{2} - 1) \]

Сокращаем на \( n \) с обеих сторон:

\[ s_1 = s_2 - 16(\sqrt{2} - 1) \]

Теперь обратим внимание, что для правильного четырехугольника, вписанного в окружность, длина стороны связана с радиусом (\( r \)) следующим образом:

\[ s_1 = 2r\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \]

Аналогично, для правильного четырехугольника, описанного около окружности:

\[ s_2 = 2r\tan\left(\frac{\pi}{n}\right) \]

Теперь мы можем подставить эти выражения в наше уравнение:

\[ 2r\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = 2r\tan\left(\frac{\pi}{n}\right) - 16(\sqrt{2} - 1) \]

Сокращаем на \( 2r \) с обеих сторон:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) - 8(\sqrt{2} - 1) \]

Теперь воспользуемся тригонометрической идентичностью:

\[ \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)} \]

Подставим это обратно в уравнение:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)} - 8(\sqrt{2} - 1) \]

Умножаем на \( \cos\left(\frac{\pi}{n}\right) \) с обеих сторон:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) - 8(\sqrt{2} - 1)\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) \]

Выражение \( \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) \) можно заменить на половину синуса удвоенного угла (\( \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \)):

\[ \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{1}{2} - 8(\sqrt{2} - 1)\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) \]

Теперь решим уравнение относительно \( \cos\left(\frac{\pi}{n}\right) \):

\[ \cos\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{1}{16(\sqrt{2} - 1)} \]

Теперь, зная \( \cos\left(\frac{\pi}{n}\right) \), мы можем найти \( \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \) с использованием тригонометрической идентичности. Например:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = \sqrt{1 - \cos^2\left(\frac{\pi}{n}\right)} \]

Теперь мы знаем \( \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \) и \( \cos\left(\frac{\pi}{n}\right) \), и можем использовать их, чтобы найти радиус \( r \) через одно из выражений для длины стороны \( s_1 \) или \( s_2 \).