Question

Найти расстояние от точки D(5;3;1) до плоскости, проходящей через точки А(4;3;0), В(3;5;-1), С(1;3;3).

Answer 1

Для нахождения расстояния от точки D(5;3;1) до плоскости, проходящей через точки A(4;3;0), B(3;5;-1) и C(1;3;3), мы можем воспользоваться формулой для расстояния от точки до плоскости.

Нормальный вектор плоскости

Для начала найдем нормальный вектор плоскости, который будет перпендикулярен плоскости. Для этого мы можем взять векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости. Возьмем векторы AB и AC:

AB = B - A = (3 - 4, 5 - 3, -1 - 0) = (-1, 2, -1) AC = C - A = (1 - 4, 3 - 3, 3 - 0) = (-3, 0, 3)

Теперь найдем векторное произведение AB и AC:

N = AB x AC = ((2 * 3) - (2 * (-3)), ((-1) * 3) - ((-1) * 0), ((-1) * 0) - ((-3) * (-1))) = (12, -3, 3)

Уравнение плоскости

Теперь, имея нормальный вектор, мы можем записать уравнение плоскости в общем виде:

Ax + By + Cz + D = 0

где (A, B, C) - координаты нормального вектора, а D - неизвестная константа.

Подставим в уравнение координаты точки A(4;3;0):

4A + 3B + 0C + D = 0

Теперь найдем значение D:

12 + 3B + 0 + D = 0 D = -12 - 3B

Таким образом, уравнение плоскости имеет вид:

12x - 3y + 3z - 12 = 0

Расстояние от точки до плоскости

Теперь мы можем найти расстояние от точки D(5;3;1) до плоскости, используя формулу:

d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Подставим координаты точки D в уравнение плоскости:

12 * 5 - 3 * 3 + 3 * 1 - 12 = 60 - 9 + 3 - 12 = 42

Подставим значения в формулу расстояния:

d = |12 * 5 - 3 * 3 + 3 * 1 - 12| / sqrt(12^2 + (-3)^2 + 3^2) d = |42| / sqrt(144 + 9 + 9) d = 42 / sqrt(162) d ≈ 4.56

Таким образом, расстояние от точки D(5;3;1) до плоскости, проходящей через точки A(4;3;0), B(3;5;-1) и C(1;3;3), составляет примерно 4.56 единицы.