Question

1.Найти наименьшее и наибольшее значения выражения sin6 x + cos6 x. 2.Дан правильный треугольник ABC со стороной p, в котором есть такая точка O, что AO = 3, BO = 4,CО = 5. Найти p.

Answer 1

1. Нахождение наименьшего и наибольшего значений выражения sin^6(x) + cos^6(x)

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений данного выражения, мы можем воспользоваться свойствами тригонометрических функций и методом дифференцирования.

Для начала, заметим, что sin^6(x) + cos^6(x) является суммой шестых степеней синуса и косинуса угла x.

Мы знаем, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1, это является основным тригонометрическим тождеством. Можно использовать это тождество для переписывания исходного выражения:

sin^6(x) + cos^6(x) = (sin^2(x))^3 + (cos^2(x))^3 = (1 - cos^2(x))^3 + (cos^2(x))^3

Раскроем скобки:

(1 - cos^2(x))^3 + (cos^2(x))^3 = (1 - 3cos^2(x) + 3cos^4(x) - cos^6(x)) + (cos^6(x)) = 1 - 3cos^2(x) + 3cos^4(x)

Теперь у нас есть одночленное выражение 1 - 3cos^2(x) + 3cos^4(x). Мы можем рассмотреть его как квадратное уравнение относительно переменной cos^2(x).

Пусть t = cos^2(x), тогда:

1 - 3cos^2(x) + 3cos^4(x) = 1 - 3t + 3t^2

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений выражения 1 - 3t + 3t^2, мы можем использовать метод дифференцирования. Дифференцируем это выражение по переменной t:

d(1 - 3t + 3t^2)/dt = -3 + 6t

Чтобы найти экстремумы этого выражения, приравняем производную к нулю:

-3 + 6t = 0

6t = 3

t = 1/2

Таким образом, когда t = 1/2, выражение 1 - 3t + 3t^2 достигает экстремума.

Подставим это значение обратно в исходное выражение, чтобы найти наименьшее и наибольшее значения:

1 - 3(1/2) + 3(1/2)^2 = 1 - 3/2 + 3/4 = 1/4

Таким образом, наименьшее и наибольшее значения выражения sin^6(x) + cos^6(x) равны 1/4.

2. Нахождение стороны прямоугольного треугольника p

Для нахождения стороны прямоугольного треугольника p, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора.

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

В данном случае, сторона прямоугольного треугольника p является гипотенузой, а стороны треугольника, образованные точкой O, являются катетами.

Исходя из условия задачи, мы знаем, что AO = 3, BO = 4 и CO = 5.

Применяя теорему Пифагора, получаем:

p^2 = AO^2 + BO^2

p^2 = 3^2 + 4^2

p^2 = 9 + 16

p^2 = 25

Таким образом, сторона прямоугольного треугольника p равна 5.