Question

Решите неравенство 25ˣ+5ˣ-2≤0

Answer 1

Для решения данного неравенства, мы должны найти значения x, при которых неравенство 25ˣ + 5ˣ - 2 ≤ 0 будет выполняться.

Давайте разберемся, как решить это неравенство.

1. Сначала заметим, что в данном неравенстве у нас есть два слагаемых с переменной x, а также константа -2.

2. Мы можем попробовать применить факторизацию, чтобы упростить неравенство. Однако, в данном случае это может быть сложно. Вместо этого, мы воспользуемся методом замены переменной.

3. Давайте введем новую переменную, например, пусть y = 5ˣ. Это позволит нам свести исходное неравенство к более простому виду.

Теперь мы можем переписать исходное неравенство следующим образом: 25ˣ + 5ˣ - 2 ≤ 0 станет y² + y - 2 ≤ 0.

4. Теперь наша цель - решить новое неравенство y² + y - 2 ≤ 0.

Для этого мы можем попытаться факторизовать квадратное уравнение. В данном случае, мы можем представить его в виде (y - 1)(y + 2) ≤ 0.

5. Теперь мы можем рассмотреть каждый множитель отдельно и определить, когда он меньше или равен нулю.

a) y - 1 ≤ 0: Это означает, что y ≤ 1.

b) y + 2 ≤ 0: Это означает, что y ≤ -2.

6. Таким образом, мы получаем два интервала, где неравенство y² + y - 2 ≤ 0 выполняется: -∞ ≤ y ≤ -2 и -1 ≤ y ≤ 1.

7. Теперь мы должны вернуться к исходной переменной x. Мы помним, что y = 5ˣ. Подставляя это обратно в неравенство, мы получаем:

-∞ ≤ 5ˣ ≤ -2 и -1 ≤ 5ˣ ≤ 1.

8. Теперь мы можем решить эти два неравенства относительно x.

a) -∞ ≤ 5ˣ ≤ -2: Возведение 5 в степень отрицательного бесконечности не имеет конкретного значения, поэтому это неравенство не имеет решений.

b) -1 ≤ 5ˣ ≤ 1: Мы можем взять логарифм с основанием 5 от каждой части неравенства, чтобы избавиться от экспоненты. Получаем: log₅(-1) ≤ x ≤ log₅(1).

Однако, мы знаем, что логарифм отрицательного числа не определен вещественными числами. Поэтому это неравенство также не имеет решений.

9. Итак, исходное неравенство 25ˣ + 5ˣ - 2 ≤ 0 не имеет решений.

Ответ: Неравенство 25ˣ + 5ˣ - 2 ≤ 0 не имеет решений.