Question

Теория вероятности, формула Байеса. В некотором городе 1 человек из ста является особенным. Если такой человек подкидывает монету, с вероятностью в 90% она выпадает нужной стороной, для остальных людей вероятность 50%. Вася сказал, что он особенный, и чтобы доказать это, он сделает так, что при n=4 бросках монеты подряд выпадет герб. Используя формулу Байеса, найти вероятность того, что Вася говорит правду.

Answer 1

Теория вероятности и формула Байеса

Вероятность — это мера возможности того, что определенное событие произойдет. Теория вероятности позволяет нам оценивать вероятности различных событий на основе доступной информации.

Формула Байеса — это один из основных инструментов теории вероятности, который позволяет пересчитывать вероятности событий на основе новой информации. Формула Байеса выглядит следующим образом:

P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)

Где: - P(A|B) обозначает условную вероятность события A при условии, что событие B произошло. - P(B|A) обозначает условную вероятность события B при условии, что событие A произошло. - P(A) и P(B) обозначают вероятности событий A и B соответственно.

Решение задачи

В данной задаче нам нужно найти вероятность того, что Вася говорит правду, при условии, что у него выпал герб при 4 подряд бросках монеты.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой Байеса. Пусть событие A обозначает то, что Вася является особенным, а событие B обозначает то, что при 4 подряд бросках монеты выпал герб.

Мы знаем, что в городе 1 человек из 100 является особенным, то есть P(A) = 1/100. Также известно, что если особенный человек подкидывает монету, то с вероятностью 90% она выпадает нужной стороной (герб), то есть P(B|A) = 0.9. Для остальных людей вероятность выпадения герба при подбрасывании монеты составляет 50%, то есть P(B|¬A) = 0.5.

Теперь мы можем использовать формулу Байеса для вычисления P(A|B), то есть вероятности того, что Вася говорит правду при условии, что выпал герб при 4 подряд бросках монеты.

P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / (P(B|A) * P(A) + P(B|¬A) * P(¬A))

Где P(¬A) обозначает вероятность того, что Вася не является особенным, то есть P(¬A) = 1 - P(A).

Подставляя известные значения в формулу Байеса, получаем:

P(A|B) = (0.9 * (1/100)) / (0.9 * (1/100) + 0.5 * (99/100))

Вычислив данное выражение, мы получим вероятность того, что Вася говорит правду при условии, что выпал герб при 4 подряд бросках монеты.

Результат

Вычислив выражение, получаем, что вероятность того, что Вася говорит правду при условии, что выпал герб при 4 подряд бросках монеты, составляет примерно 0.0182 или 1.82%.

Источник: -