Question

Как решить дифур y'=x/y. Спасибо заранее

Answer 1

Конечно, решение дифференциального уравнения \(y' = \frac{x}{y}\) можно выполнить несколькими способами. Одним из подходов является разделение переменных.

Исходное уравнение: \(y' = \frac{x}{y}\)

Для начала перепишем уравнение, разделив переменные \(x\) и \(y\) на разные стороны уравнения:

\[y \, dy = x \, dx\]

Теперь проинтегрируем обе стороны этого уравнения. Интегрирование дает:

\[\int y \, dy = \int x \, dx\]

Интегрируя каждую часть, получаем:

\[\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C\]

где \(C\) — произвольная постоянная интегрирования.

Теперь можно выразить \(y\) относительно \(x\) и константы \(C\):

\[y^2 = x^2 + 2C\]

\[y = \sqrt{x^2 + 2C}\]

Это уравнение представляет собой семейство кривых, которые удовлетворяют исходному дифференциальному уравнению \(y' = \frac{x}{y}\), где \(C\) может быть любой константой.

Если известно начальное условие \(y(x_0) = y_0\) для некоторой точки \((x_0, y_0)\), можно использовать это условие, чтобы определить конкретное значение \(C\) и получить частное решение для данной начальной точки.