Question

Решите систему неравенства: 7•(2х+4)-2•(7х+4)>4х (х-7)•(х+4)<0

Answer 1

Давайте разберёмся с данной системой неравенств:

\[7(2x + 4) - 2(7x + 4) > 4x + (x - 7)(x + 4) < 0\]

1. Упростим левую часть:

\[14x + 28 - 14x - 8 > 4x + (x^2 + 4x - 7x - 28) < 0\]

\[20 > 4x + x^2 - 3x - 28 < 0\]

\[x^2 - 2x - 8 < 0\]

2. Решим квадратное уравнение:

\[x^2 - 2x - 8 = 0\]

\[(x - 4)(x + 2) = 0\]

Из этого уравнения получаем два корня: \(x = 4\) и \(x = -2\).

3. Построим таблицу знаков:

\[ \begin{array}{cccc} x & x - 4 & x + 2 & x^2 - 2x - 8 \\ \hline -\infty & - & + & + \\ -2 & - & 0 & - \\ 4 & 0 & + & + \\ +\infty & + & + & + \end{array} \]

Из таблицы видно, что неравенство \(x^2 - 2x - 8 < 0\) выполняется при \(-2 < x < 4\).

4. Проверим правую часть для каждого интервала:

- Для интервала \((- \infty, -2)\): \[4x + x^2 - 3x - 28 < 0\] \[-28 < 0\] - выполняется.

- Для интервала \((-2, 4)\): \[4x + x^2 - 3x - 28 < 0\] \[(x - 4)(x + 2) < 0\] - это условие, которое мы уже выяснили, что выполняется на интервале \((-2, 4)\).

- Для интервала \((4, +\infty)\): \[4x + x^2 - 3x - 28 < 0\] \[-28 < 0\] - выполняется.

Итак, решение системы неравенств: \(-2 < x < 4\).